Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики

Випадкова подія. Ймовірність події.

Класичне означення ймовірності – ймовірність події А дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють події А, до числа всіх можливих випадків, тобто

,

де n – число всіх можливих випадків, а m – число випадків, що сприяють події А.  Р(А) < 1.

   Розглядаючи різні випробування, ми ідеалізуємо умови, в яких вони проводяться. Наприклад: гральний кубик вважаємо кубом ідеальної форми, зробленим з речовини, густина якої  стала, центр куба знаходиться в точці перетину його діагоналей і т. д. Зрозуміло, що в цьому випадку поява 1 очка така ж, як поява 2, або 3, або 4, або 5, або 6 і дорівнює .

Відносна частота події.

   Відносна частота поряд з ймовірністю належить до основних понять теорії ймовірностей.

    Відносною частотою випадкової події називається відношення числа на­ стання цієї події до загального числа експериментів.

Зіставляючи визначення ймовірності і відносної частоти, робимо наступний висновок: визначення ймовірності не вимагає, щоб випробування проводилися в дійсності; визначення ж відносної частоти передбачає, що випробу-вання були проведені фактично.

Іншими словами, ймовірність обчислюють до випробу-вання, а відносну частоту – після випробування.

Елементи комбінаторики. Комбінаторні правила суми та добутку.

Під час розв’язування багатьох практичних задач дово-диться вибирати з певної сукупності об’єктів елементи, що мають ті або інші властивості, розміщувати ці елементи в певному порядку тощо. Оскільки в таких задачах ідеться про ті або інші комбінації об’єктів, то такі задачі
називають комбінаторними. Розділ математики, у якому розглядають методи розв’язування комбінаторних задач, називають комбінаторикою. У комбінаториці розглядають вибір і розміщення елементів деякої скінченної множини на основі якихось умов.

Вибрані (або вибрані й розміщені) групи елементів називають сполуками. Якщо всі елементи сполуки різні, то одержуємо сполуку без повторень, а якщо елементи можуть повторюватися, то одержуємо сполуку

з повтореннями.

Надалі будемо розглядати тільки сполуки без повторень, тому не будемо окремо вказувати на це у кожному випадку.

Розв’язування багатьох комбінаторних задач спирається на два основних правила — правило суми й правило добутку.

Правило суми  Якщо елемент A можна вибрати m способами, а елемент B — n способами (при цьому вибір елемента A виключає одночасний вибір і елемента B), то A або B можна вибрати (m+n) способами.  

Приклад. Якщо на тарілці лежить 5 груш і 4 яблука, то вибрати один фрукт (тобто грушу або яблуко) можна 9 способами (5+4=9). У загальному вигляді справедливе таке твердження.

Правило добутку   Якщо елемент A можна вибрати m способами, а після цього елемент B — n способами, то A і B можна вибрати (m⋅n) способами.   

Приклад. Якщо в крамниці продають ручки 5 видів і зошити 4 видів, то вибрати набір із ручки й зошита (тобто пару — ручку і зошит) можна 5⋅4 = 20 способами (оскільки до кожної з 5 ручок можна взяти будь-який із 4 зошитів).

Це твердження означає, що оскільки для кожного з m елементів A можна взяти в пару будь-який з n елементів В, то кількість пар дорівнює добутку m⋅n.

Повторюючи наведені міркування декілька разів (більш строго — використовуючи метод математичної індукції), одержуємо, що правила суми й добутку можна застосовувати при виборі довільної скінченної кількості елементів.

Перестановки, розміщення, комбінації.

Перестановки

Нехай є множина М, яка складається із n елементів: а_1, a₂, а₃,…, а_n. Якщо переставляти ці елементи можливими способами, залишаючи незмінним їх загальне число, одержуємо декілька послідовностей: а₁, а₂, а₃,…,а_n,…,    а_n-1,а_n-2,…, а₁ і т. д. Кожна з таких послідовностей є перестановкою із даних n елементів.

Перестановкою  із n елементів називається будь-яка скінченна послідовність, яка одержується в результаті упорядкування деякої скінченної множини, складеної з n елементів. Число всіх перестановок із n елементів позначається Р_n. Це число дорівнює добутку всіх цілих чисел від 1 до n. Позначають:

Добуток n перших натуральних чисел прийнято позначати символом n!

Символ n! читають “eн факторіал”. Це слово походить від латинського factor, що означає “множник”.

Приклад. Якою кількістю способів можна розсадити 8 студентів в ряд з 8 місць:

.

Комбінації.

Нехай є множина М, яка складається з n різних елементів. Будь-яка підмножина множини М, яка містить k елементів (k=0, 1, 2, …, n), називається комбінацією з даних n елементів по k елементів, якщо ці підмножини відріз-няються хоча б одним елементом.

Формула числа комбінації .

Формулу для можна записати в іншому вигляді. Помноживши чисельник i знаменник дробу в правій частині на добуток , одержуємо:

.

Зауваження. Із n елементів можна скласти тільки одне сполучення, що містить всі n елементів, тому прийнято:

  .

Властивості сполучень:

а) ;

б) .

Приклад. Скількома можливими способами можна вибрати з 15 людей делегацію в складі 3 осіб.

Розв’язання. Шукане число (кількість можливих вибірок) є числом сполучень із 15 по 3: .

Розміщення

Кожна впорядкована підмножина, яка містить k елементів даної множини з n елементів, називається розміщенням із n по k елементів. Таким чином, два різних розміщення із даних n елементів по k відрізняються один від одного або складом елементів, або порядком їх розміщення.

Формула числа розміщення .

   Число всіх можливих розміщень із n елементів по k дорівнює добутку k послідовних чисел, з яких найбільшим є n, тобто:

, або .

Приклад. В класі 10 навчальних предметів і 5 різних уроків в день. Скількома способами можна розподілити уроки в день.

Розв’язання.

Всі можливі розподіли уроків в день являють собою, очевидно, всі можливі розміщення з 10 елементів по 5; тому всіх способів розподілу повинно бути: 

Вибіркові характеристики: розмах вибірки, мода, медіана, середнє значення.

Математична статистика – розділ математики, у якому вивчають методи збирання, систематизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків.

Генеральна сукупність – це сукупність усіх об’єктів, що підлягають дослідженню.

Вибіркою називають сукупність об’єктів, вибраних випадковим чином з генеральної сукупності.

Об’ємом вибірки називають кількість об’єктів цієї  вибірки.

Ранжовання ряду – це  розташування  елементів цього ряду в порядку зростання.

Наприклад. За результатами контрольної роботи учні класу отримали такі оцінки за списком:

8; 4; 6; 4; 10; 5; 5; 6; 8; 8; 7; 5;  4; 7; 7; 6; 8; 8; 6; 10

Об’ємом вибірки : 20

Ранжований ряд:

4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 7;  7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 10; 10

Розмах  вибірки R  – це різниця між найбільшим і найменшим значенням випадкової величини у вибірці.

Мода вибірки M_o  – це значення випадкової величини, що трапляється у вибірці найчастіше.

Медіана вибірки М_е   – це серединне значення ранжованої вибірки.

Увага:

• Якщо об’єм вибірки є парне число n=2k, то медіана вибірки є середнім арифметичним варіант х_k і x_k+1.

• Якщо об’єм вибірки є непарне число n=2k+1, то медіана вибірки дорівнює x_k+1

Середнє значення вибірки   – це середнє арифметичне всіх її значень  x₁,  x₂,  x₃,  …,  x_n

Приклад. За результатами контрольної роботи учні класу отримали такі оцінки за списком:

8; 4; 6; 4; 10; 5; 5; 6; 8; 8; 7; 5;  4; 7; 7; 6; 8; 8; 6; 10. Знайдіть: розмах вибірки, мода, медіана, середнє значення.

Об’ємом вибірки : 20  (парна кількість)

Ранжований ряд:

4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7;  8; 8; 8; 8; 8; 10; 10.

Розмах вибірки: R=10-4=6

Мода вибірки:  M_o=8

Медіана вибірки:Me=(6+7)/2=6,5

Середнє значення вибірки:                                                 x ̅=(4∙3+5∙3+6∙4+7∙3+8∙5+10∙2)/20=6,6≈7

Приклад. Знайдіть: розмах вибірки, мода, медіана, середнє значення: 20; 60; 30; 40; 40; 60; 50; 20; 20.

Об’єм вибірки: 9   (непарна кількість)

Ранжований ряд: 20; 20; 20; 30; 40; 40; 50; 60; 60.

Розмах вибірки: R=60-20=40

Мода вибірки:  Mo=20

Медіана вибірки: Me=40

Середнє значення вибірки                                                 x ̅=(20∙3+30∙1+40∙2+50∙1+60∙2)/9=37,7≈38.

Графічне представлення інформації про вибірку.

Полігоном частот називається ламана, відрізки якої послідовно сполучають точки з координатами (x₁; m₁),    (x₂; m₂), …, (x_k; m_k), де x_i — значення різних елементів ряду даних, а m_i — відповідні їм частоти.

Приклад. Нехай у результаті вивчення розміру взуття 30 хлопчиків 11 класу було одержано набір чисел (результати записано в порядку опитування): 39; 44; 41; 39; 40; 41; 45; 42; 44; 41; 41; 43; 42; 43; 41; 44; 42; 38; 40; 38; 41; 40; 42; 43; 42; 41; 43; 40; 40; 42.

Щоб зручніше було аналізувати інформацію, у подібних ситуаціях числові дані спочатку ранжирують, розташовуючи їх у порядку зростання (коли кожне наступне число або більше, або не менше за попереднє).

У результаті ранжирування одержуємо такий ряд: 38; 38; 39; 39; 40; 40; 40; 40; 40; 41; 41; 41; 41; 41; 41; 41; 42; 42; 42; 42; 42; 42; 43; 43; 43; 43; 44; 44; 44; 45.

Потім складаємо таблицю, у першому рядку якої вказуємо всі різні значення одержаного ряду даних (X — розмір взуття вибраних 30 хлопчиків 11 класу), а в другому рядку — їх частоти M:

n = ∑M = 30

Одержуємо ряд розподілу ознаки X, яка розглядається, за частотами.

Іноді зручно проводити аналіз ряду розподілу на основі його графічного

зображення.

Аналогічно означається й будується полігон відносних частот для ознаки X, яка розглядається (будуються точки з координатами (x₁;w₁), (x₂;w₂), …, (x_k;w_k), де x_i — значення різних елементів ряду даних, а w_i — відповідні їм відносні частоти.

Вiдносна частота — це частота, подiлена на сумарну кiлькiсть спостережень. Її можна виразити у виглядi дробу, десяткового числа або вiдсотка. W=M/∑M

Якщо порахувати відносні частоти для кожного з різних значень ряду даних, розглянутого вище, то розподіл значень ознаки X, яка розглядається, за відносними частотами можна задати таблицею:

Гістогра́ма частот – спосіб графічного  представлення таблчних даних, приблизне представлення розподілу числових даних. Являє собою діаграму, що складається з прямокутників без розривів між ними. Кількісні співвідно-шення деякого показника представлені у вигляді прямо-кутників, площі яких пропорційні. Найчастіше для зручності сприйняття ширину прямокутників беруть однакову, при цьому їх висота визначає співвідношення відображуваного параметра.

Гістограмою відносних частот це ступінчаста фігуру, подібна до гістограми частот, тільки по осі ординат відкладені густина відносних частот.

Також розподіл значень ознаки X, яка розглядається, за відносними частотами можна подати у вигляді кругової діаграми.

Для побудови кругової діаграми круг розбивається на сек-
тори, центральні кути яких пропорційні відносним частотам, обчисленим для кожного з різних значень ряду даних.

Зауважимо, що кругова діаграма зберігає свою наочність і виразність тільки у випадку невеликої кількості одержаних секторів, в іншому випадку її застосування малоефективне.