derivative

Означення похідної функції, її геометричний і фізичний зміст.

Похідні основних функцій.

Похідні вищих порядків

Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).

Дія знаходження похідної функції називається диференціюванням.

Похідна функції має такий фізичний зміст: похідна функції в заданій точці – швидкість зміни функції в заданій точці.

Похідна функції має такий геометричний зміст: похідна функції в заданій точці є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції в цій точці, тобто дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці.

Запам’ятайте!

– Похідна функції у = x дорівнює одиниці;

– Похідна степеневої функції дорівнює показнику степеня, помноженому на основу в степені, на одиницю меншу; (похідна функції у = xn дорівнює добутку n і xn-1);

– Похідна функції у = 1/x дорівнює одиниці, поділеній на х2, узятій зі знаком мінус;

– Похідна функції у = √x для додатних х дорівнює 1/(2√x);

– Похідна функції синус х дорівнює косинусу х;

– Похідна функції косинус х дорівнює синусу х, взятому зі знаком мінус;

– Похідна функції тангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса х;

– Похідна функції котангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат синуса х, взятій зі знаком мінус;

– Похідна показникової функції у = ах дорівнює цій функції, помноженій на натуральний логарифм основи ах∙ ln а;

– Похідна функції у = ех дорівнює самій функції, тобто ех;

– Похідна логарифмічної функції у = logax на її області визначення дорівнює 1/(х∙ ln а);

– Похідна функції у = ln x на її області визначення дорівнює одинці, поділеній на х .

Можна визначити похідні вищих порядків. Похідною n-го порядку (n-ною похідною) називається похідна від похідної (п – 1) порядку.