وحدة تعليمية بموضوع الاحتمال للصف العاشر

مقدمة من المعلمة : ازدهار حبشي

السنة الدراسية 2015/2016

مقدم لطلابي الاعزاء

اتمنى ان ينال العمل اعجابكم

وفقكم الله وسدد خطاكم

أهداف الموقع،

1. أن يفهم التلميذ مفهوم الاحتمال.

2. أن يستطيع التلميذ حساب احتمالات لأحداث بسيطة.

3. أن يستطيع التلميذ حساب احتمالات لأحداث متقاطعة ، وأحداث متحدة.

4.  أن يتعرف التلميذ على تكنولوجيات عصرية وجديدة.

5.  أن يتمكن التلميذ من من استخدام التكنولوجيات من أجل فهم موضوع الاحتمالات.

6.  أن يكتشف ويستنتج التلميذ المفاهيم المتعلقة بموضوع الاحتمالات بمساعدة التكنولوجيات.

عزيزي المعلم،                                                                    

 كما تعلم، فقد نال موضوع الاحتمالات في السنوات الأخيرة القليلة اهتماماً متزايداً  في المنهاج الدراسي، لذلك فإن كمية الفعاليات المتعلقة بهذا الموضوع قليلة نسبةً لعددها في مواضيع أخرى في المنهاج الدراسي. لذلك، فإن هذا الموقع يزودك بمادة مُلمّة في موضوع الاحتمالات، حيث يشمل الموقع مادة نظرية تعرض جوانب عديدة للموضوع، وذلك من خلال المقدمات الأربع الموجودة بالصفحة أعلاه،  وأيضاً من خلال فعاليات مُحوسبة عديدة، تكنولوجية وعصرية تعرض الموضوع بشكلٍ شيق ومُمتع. والتي تساعدك في عرض الموضوع لطلابك بسهولة وبشكل جذاب.

عزيزي الطالب،

يعرض هذا الموقع موضوع الاحتمالات للمرحلة الثانوية بشكل ممتع وشيق، حيث تواكب به أحدث التكنولوجيات المتبعة في شرح مواضيع الرياضيات بشكل عام، وموضوع الاحتمالات بشكل خاص. …. …………. ……. .

أتمنى للجميع الفائدة والمُتعة.

مُقدمّة بيداجوجيّة

يواجه المعلمون مشاكل عديدة في تدريس موضوع الاحتمالات، يعود بعضها للمنهاج الدراسي والبعض الآخر لصعوبة في الموضوع نفسه. سأتطرّق في هذه المقدمة إلى عرض بعض المشاكل المختلفة التي تساهم في جعل موضوع الاحتمالات صعباً لكل من المعلمين والتلاميذ

مشاكل متعلقة بالمنهاج الدراسي:

هناك عيباً في المنهاج الدراسي فيما يتعلق بموضوع الاحتمالات، حيث لا يهتم المنهاج الدراسي بموضوع الاحتمالات كبقيّة مواضيع الرياضيات المختلفة، ويظهر ذلك بشدة من خلال النقاط الآتية:

1. عدد ساعات تدريس الموضوع المقررّة في المنهاج الدراسي:

يعتبر موضوع الاحتمالات أحد المواضيع التي يُمنح عدد ساعات قليل جداً لتدريس مقارنةَ لماهية الموضوع وحاجته الشديدة لعدد ساعات من أجل ترسيخ المفاهيم للتلاميذ.

إن النقص في عدد الساعات المُخصص للموضوع، يُقيّد المعلم من استخدام الوسائل المستخدمة في توضيح الموضوع للتلاميذ، كما يقلل من احتمالية فهم التلاميذ للموضوع وتركيز المعلم على جميع التلاميذ. لأن هناك مواد أخرى لها الحصة الأكبر من الساعات المقررة في المنهاج الدراسي، والذي لا بُد من أن يفضل تدريسها المعلم على موضوع كالاحتمالات، الذي لا يُمنح الأهمية الكبيرة.

2. عدم وجود خلفية للموضوع عند التلاميذ:

حسب ما يقرره المنهاج الدراسي، فإن معظم المواد التي تُدرس في الإعدادية يُدرس خلفية بسيطة حولها في فترة الابتدائية، بهدف تحضير التلاميذ للموضوع بشكل استدراجي من أجل ترسيخ الموضوع عند التلاميذ.

لكن الوضع مع موضوع الاحتمالات يختلف كلياً، إذ لا يوجد في المنهاج الدراسي حصص للتلاميذ في المرحلة الابتدائية والتي تقوم بتحضيرهم لموضوع الاحتمالات، لهذا فإن موضوع الاحتمالات يعتبرُ غريباً عن التلاميذ، مما يشكل صعوبة في فهمهم للموضوع والتعامل معه خاصّة بالإضافة لعدد الساعات القليل الذي يُدرس به.

3. تجاهل الموضوع في دورات استكمال المعلمين:

يقوم كل معلم في مجال الرياضيات باستكمال دراسته بدورات مُقررة من وزارة التربية والتعليم، بهدف تجديد المواد للمعلمين من أجل الإبداع من تدريس المواد المختلفة وتمكن المعلم من الموضوع بمهارة. لكن لا يحظى موضوع الاحتمال بأيّة أهمية في هذه الدورات، ما يجعل الموضوع أيضاً غريباً وغير حيويِ لدى المعلمين، وبالتالي فإنهم لن يكونوا قادرين على الإبداع ي تدريسه.

4. قلة وسائل الإيضاح العربية المتعلقة بالموضوع :

نتيجة لعدم تركيز المنهاج الدراسي على الموضوع، وأيضا تجاهله في دورات استكمال المعلمين، فإن نسبة الأبحاث المتعلقة بكيفية وماهية تدريس هذا الموضوع أقل من المواضيع الأخرى، وبالتالي فإن وسائل الإيضاح المساعدة في شرح هذه الموضوع قليلة ومحدودة جداً، وهذا يؤثر سلباُ بالتأكيد على فهم التلاميذ للموضوع لأنه غير حيويٍ دون استدام وسائل الإيضاح.

مشاكل متعلقة بموضوع الاحتمالات:

   موضوع الاحتمالات من المواضيع الصعبة نسبياً في علوم الرياضيات بشكل عام ويكمن سر صعوبته في النقاط الآتية:

1. حاجة الموضوع إلى الخيال والتجسيد:

يعتمد موضوع الاحتمالات على التجربة، لكن بأسئلة الاحتمال المتقدمة أو حتى المتوسطة يكون عدد التجارب كبير نسبياً. إذ يحتاج التلميذ تخيّل التجارب والنتائج من أجل حل السؤال. فمجرد القيام بتجربة صغيرة جداً قد يعمّق مفهوم الاحتمال لدى التلاميذ، لكن قد يخلط التلاميذ التجارب الكبيرة ببعضها البعض حتى يصلوا لمرحلة تختلط مفاهيم الموضوع ببعضها البعض مما يعقد عليهم حل المسألة.

مقترح لحل المشكلة:

قد يستطيع المعلم عمل تجارب بسيطة في غرفة الصف، لكن بالطبع هذه التجارب لا تعتبر حلاً جذرياً لمشكلة عدم قدرة التلاميذ على تخيل التجارب الكبيرة نسبياً. لذا، فإن أحد المقترحات لحل هذه المشكلة هو استخدام برمجيات حاسوبية تتيح للمستخدم عمل تجارب كبيرة ومنوعة، من خلالها يستطيع التلميذ عمل تجارب عديدة وبعدد المرات التي يريد. بهذه الحالة يستطيع التلميذ تخيل التجربة التي يريد أن يحسب الاحتمالات لها، بشكل أعمق. وهذا بالتأكيد سوف يضاعف من فرصة فهم التلاميذ للموضوع.

2. اعتماد الموضوع على المنطق:

يعتبر علم المنطق من أصعب العلوم التي تواجه الإنسان، إذا يحتاج التفكير المنطقي للتخيّل والربط بين قوانين عديدة والاستكشاف، بمعنى أن علم المنطق ومهاراته يحتاجان من الإنسان الكشف عن مستويات تفكيره العليا.

لذا، تكمن صعوبة الاحتمال في عدم وجود مهارات عالية من التفكير المنطقي لدى التلاميذ بشكل عام بسبب عدم تشديد المنهاج الدراسي أيضاً على تنمية مهارات التفكير المنطقي وعدم تخصيص ساعات وقت كافية للموضوع. مما يعقد عليهم عملية التعامل مع موضوع الاحتمالات والمسائل المختلفة به.

مقترح لحل المشكلة:

إن مشكلة ضعف التلاميذ في التفكير المنطقي بشكل عالٍ، لا يمكن حلها بلحظة أو بيوم أو  بشهر وربما بسنة. فهذه المشكلة تعتبر مشكلة تراكمية، إذ أن ضعف التلميذ بدأ يظهر ويتطور معه منذ أن بدأ يدرس موضوع الرياضيات بشكل لا يرتكز على التفكير المنطقي بدرجة كبيرة.  لذلك فالحل المقترح لهذه المشكلة، نستطيع تسميته بمساعد وإنما ليس حلاً جذرياً. من الحلول المقترحة للمساهمة في تطوير التفكير المنطقي لدى التلاميذ والهام من أجل تدريس موضوع الاحتمالات:

• تدريب التلاميذ على استراتيجات حل مسائل رياضية بشكل غير تقليدي واوتوماتيكي.
• استخدام أمثلة من واقع التلاميذ وربطها مع المفاهيم الرياضية المتعلقة بموضوع الاحتمالات قدر الإمكان.
• إعطاء الفرصة للتلميذ بأن يفسر العلاقات المنطقية بلغته هو، وتصحيحه وتوجيه تفكيره بالشكل السليم.
• استخدام برمجيات حاسوبية ومقاطع فيديو وفلاشات، تعمل على تجسيد العلاقات المنطقية بشكل قريب من خيال التلاميذ.
• إعطاء فرصة للتلاميذ للتجربة الذاتية والاكتشاف. فربما يستطيع التلميذ فهم الموضوع بشكل عميق بعد قيامه للتجارب بنفسه.

3. عدم قدرة التلاميذ من التأكد من إجابتهم:

يجد الكثير من التلاميذ الصعوبة في موضوع الاحتمال بكونه صعب التقويم الذاتي دون مساعدة من أطراف أخرى كالمعلم أو برامج تعليمية أو وحدات تعليمية مختلفة. لذا فهم يجدون تخوفاً كبيراً من عمل امتحانات بهذا الموضوع بكونه يحتاج إلى المنطق وبسبب صعوبة الطالب في اكتشاف أخطائه أثناء حل المسائل. فالتلاميذ يميلون للمواضيع الأكثر وضوحاً كحل المعادلات التي يعوض بها التلميذ إجابته ويكتشف أخطائه.

مقترح لحل المشكلة:

يستطيع المعلم التغلب على هذه المشكلة بواسطة أوراق عمل غير تقليدية، والتي يهتم المعلم بأن يمنح الطالب فرصة من تقييم ذاته بذاته. مثلاً كأن تكون ورقة العمل على شكل أحجية، بحيث إذا قام التلميذ بحل ورقة العمل بالشكل السليمة، سيحصل على إجابة الأحجية. أو كأن يكون في ورقة العمل صندوق للإجابات الصحيحة…. إلخ.

كما يمكن للمعلم أن يتغلب على هذه المشكلة باستخدام الحاسوب، فالحاسوب يعتبر حلاً مميزاً لهذه المشكلة وذلك بواسطة ألعاب الحاسوب التعليمية، والمهام والفعاليات والاختبارات المحوسبة، التي تمنح التلميذ فرصة تقييم نفسه بنفسه.

1. حاجة موضوع الاحتمالات لفهم المسائل الكلامية وحلها:

إن فهم مسائل الاحتمالات يحتاج لمهارة فهم المسائل الكلامية، وفهم المقروء. ولا يخفى على جميع المعلمين صعوبة هذا الموضوع بالنسبة للتلاميذ. لذلك يواجه التلاميذ صعوبة في فهم أسئلة وتمارين موضوع الاحتمالات، والتي تزداد أكثر بوجود مشاكل أخرى متعلقة بالموضوع.

مقترح لحل المشكلة:

يستطيع المعلم مساعدة التلميذ في فهم المسألة، وذلك من خلال المقترحات الآتية:

1.تذكير التلميذ دائماً باستراتيجيات حل المسائل الكلامية.

2.عرض أمثلة لمسائل بسيطة،  يربطها المعلم بشكل تدريجي بالمسألة الأعقد.

3.استخدام برمجيات حاسوبية تساعد التلاميذ على تحليل المسألة من خلال صور ورسومات، أو من خلال العاب حاسوبية تساعد في وصف المسألة باستخدام رسوم تصف المسألة.

مُقدمّة رياضيّة

نتعامل في حياتنا اليومية مع كثير من الأحداث غير المحددة، فكمية الأمطار التي ستهطل في العام القادم، ودرجات الحرارة ليوم غد، وعدد حوادث السيارات في مكان ما في الأسبوع القادم، كلها أحداث غير مؤكدة. وهناك متغيرات نستطيع أن نجد قوانين وعلاقات تربط بينها.

لكن لا يوجد قانون رياضي يبين لنا بالتحديد كمية الأمطار التي ستسقط في مكان ما خلال الموسم القادم مثلاً. ولا يوجد قانون يحدد مسبقاً الرقم الذي سيظهر عند رمي حجر النرد.

 لكن عن طريق الاحتمالات نستطيع أن نجيب عن كثير من الأسئلة مثل: ما احتمال حصول 20 حالة ولادة على الأقل في مستشفى ما خلال اليومين القادمين؟ أو ما احتمال ارتفاع أسعار أسهم شركة ما بمقدار 5% على الأقل؟ .. الخ. وحتى نستطيع الإجابة عن مثل هذه الأسئلة سنتعرف على مفهوم الاحتمال وقوانينه.

مفهوم الاحتمال:

كانت بداية ظهور الاحتمالات في القمار وألعاب الحظ مثل ألعاب رمي قطع النقد أو أحجار النرد أو ألعاب الورق. فعند رمي حجر النرد المنتظم فإن مجموعة النتائج الممكنة هي: . وبما أن حجر النرد منتظم فإن كل واحدة من هذه النتائج لها نفس فرصة الحدوث. وبالتالي فإن احتمال ظهور الوجه الذي عليه الرقم 2 مثلا هو: . وعند سحب ورقة من مجموعة أوراق اللعب المنتظمة والتي عددها 52، فإن احتمال سحب ورقة معينة من هذه الأوراق هو: ، إن هذا المفهوم للاحتمال يُسمى المفهوم التقليدي للاحتمال.

إن المفهوم التقليدي للاحتمال محصور في أن كل نتيجة من نتائج التجربة لها نفس فرصة الحدوث. لكن هناك العديد من التجارب التي لا تتساوى فرص حصول نتائجها، فمثلاً فرص نجاح الطلبة في مساق معين قد تكون مختلفة عن بعضها البعض. كذلك إن المفهوم التقليدي للاحتمال يقصر عن معالجة التجارب التي يكون عدد نتائجها غير منتهي. فلو كانت التجربة اختيار رقم عشوائياً من مجموعة الأعداد الطبيعية، وسألنا عن احتمال اختيار الرقم 5، فإننا لا نستطيع أن نعطي إجابة عن هذا السؤال من خلال المفهوم التقليدي للاحتمال.

إن وجود هذه العيوب في التعريف التقليدي للاحتمال قاد الرياضيين للتفكير في تعريف آخر. فعرفوا احتمال حدث ما بأنه التكرار النسبي لهذا الحدث عند إعادة التجربة عدداً كبيرا من المرات تحت ظروف مشابهه. فمثلاً لإيجاد احتمال ظهور الرقم 6 عند رمي حجر النرد يتم إلقاء حجر النرد عدداً كبيراً من المرات ويكون احتمال ظهور الرقم 6 هو:

حيث أن:

   n تمثل عدد مرات إلقاء حجر النرد.

   m تمثل عدد مرات ظهور الرقم 6.

الفضاء العيني:

الفضاء العيني هو عبارة عن مجموعة كل النتائج التي يمكن ظهورها عند إجراء تجربة ما ويرمز له بالرمز .

مثال: ما هو الفضاء العيني لتجربة إلقاء قطعة نقدية؟

الحل: ليكن الحرف H يرمز لظهور الصورة، والحرف T يرمز لظهور الكتابة فإن :

الحادث:

الحادث هو عبارة عن مجموعة جزئية من الفضاء العيني، وقد يساوي الفضاء العيني نفسه.

وهنالك ثلاث أنواع من الأحداث.

أ.الحادث البسيط:

هو الحادث الذي يتألف من نتيجة واحدة ممكنة فقط من النتائج التي ممكن الحصول عليها.

مثال: عند تجربة إلقاء قطعة نقدية مرة واحدة، إذا كان الحادث A يعني ظهور صورة، جد الحادث A. (H يرمز لظهور صورة، وَ T يرمز لظهر كتابة )

الحل: ، هذا الحادث بسيط لأنه يحوي نتيجة واحدة فقط.

ب. الحادث الأكيد:

هو الحادث الذي يساوي الفضاء العيني.

ج) الحادث المستحيل:

هو الحدث الذي من المستحيل حدوثه، أي بمعنى الحادث الذي يتألف من المجموعة الخالية .

احتمال وقوع الحادث A  يرمز له بالرمز (P(A ويعطى حسب العلاقة التالية:

P(A)=عدد عناصر الفضاء العيني    عدد عناصر الحادث A

مثال:

 في تجربة إلقاء حجر النرد مرتين متتاليتين. أجب عمّا يلي:

• ما هي عناصر الفضاء العيني؟

الحل: