КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

• Опанувавши матеріал цього уроку, ви навчитеся розв’язувати рівняння виду ax²+bx+c=0.

• Ознайомитеся з поняттям Дискримінант.

• Ознайомитеся з теоремою Вієта для квадратного рівняння.

Розв’язування неповних квадратних рівнянь.
Ви вмієте розв’язувати лінійні рівняння, тобто рівняння вид

Ви вмієте розв’язувати лінійні рівняння, тобто рівняння виду ax=b, де x — змінна, a і b — деякі числа.
Якщо a≠0, то рівняння ax=b називають рівнянням першого степеня.

 – Наприклад, кожне з лінійних рівнянь 2x=3, 3x=0,    1/3x=7 є рівнянням першого степеня. А ось лінійні рівняння 0x=0, 0x=2 не є рівняннями першого степеня.

Числа a і b називають коефіцієнтами рівняння першого степеня ax = b.

Ви також умієте розв’язувати деякі рівняння, які містять змінну в другому степені.

– Наприклад, готуючись до вивчення нової теми, §3. Квадратні рівняння ви розв’язали рівняння x²=0, x²–1=0,  x²+5x=0, x²–2x+1=0 (вправа 589).

Кожне із цих рівнянь має вид ax²+bx+c=0.

Означення. Квадратним називають рівняння виду ax²+bx+c=0, де x — змінна,

a, b і c — деякі числа, причому a≠0.
Числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння.
Число a називають першим або старшим коефіцієнтом, число b —другим коефіцієнтом, число c — вільним членом.

– Наприклад, квадратне рівняння –2x²+5x+3=0 має такі коефіцієнти: a=–2, b=5, c=3.
Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорівнює 1, називають зведеним.

–  Наприклад, x²+2х=0, x²–4=0, x²+3x=0 — це зведені квадратні рівняння.

Оскільки у квадратному рівнянні ax²+bx+c=0 старший коефіцієнт не дорівнює нулю, то незведене квадратне рівняння завжди можна перетворити у зведене,  рівносильне даному.

Розділивши обидві частини рівняння ax²+bx+c=0 на число a, отримаємо зведене квадратне рівняння

x²+(b/a)x+(c/a)=0.

Якщо у квадратному рівнянні ax²+bx+c=0 хоча б один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням.

Існує три види неповних квадратних рівнянь:

1. При b = c = 0 маємо: ax² = 0.
2. При c = 0 і b ≠ 0 маємо: ax² + bx = 0.
3. При b = 0 і c ≠ 0 маємо: ax²+ c = 0

Розв’яжемо неповні квадратні рівняння кожного виду.

П Р И К Л А Д

Розв’яжіть рівняння x²+3|х|=0
Розв’язання: При x>0 маємо: х²+3x=0. Звідси x(x+3)=0;
x=0 або x=-3. Але корінь x=–3 не задовольняє умову x>0.
При x<0 маємо: x²-3x=0. Звідси x(x-3)=0;
x=0 або x=3. Але корінь x=3 не задовольняє умову x<0
Відповідь: x=0.

Формула коренів квадратного рівняння.

Знаючи коефіцієнти a і b рівняння першого степеня ax=b,
можна знайти його корінь за формулою x=b/a.
Виведемо формулу, яка дає змогу за коефіцієнтами a, b і c квадратного рівняння ax²+bx+c=0 знаходити його корені.
Маємо:
ax²+bx+c=0. (1)
Оскільки a≠0, то, помноживши обидві частини цього рівняння на 4а, отримаємо рівняння, рівносильне даному:
4a²x²+4abx+4ac=0.
Виділимо в лівій частині цього рівняння квадрат двочлена:
4a²x²+4abx+b²–b²+4ac=0;
(2ax+b)²=b²–4ac. (2)
Існування коренів рівняння (2) та їхня кількість залежать від знака значення виразу b² – 4ac. 

Це значення називають дискримінантом квадратного рівняння ax²+bx+c=0 і позначають буквою D,

тобто D=b2–4ac.

Термін «дискримінант» походить від латинського слова discriminare, що означає «розрізняти», «розділяти».
Тепер рівняння (2) можна записати так:

(2ax+b)²=D

Можливі три випадки: D<0, D=0, D>0.

Наслідок. Якщо x₁ і x₂ — корені зведеного квадратного рівняння, x²+bx+c=0, то x₁+x₂=–b, x₁*x₂=c.
Іншими словами, сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

ПРИКЛАД №1

Число 4 є коренем рівняння 3x²–10x+n=0. Знайдіть другий корінь рівняння та значення n.
Розв’язання. Нехай x₁ і x₂ — корені даного рівняння, причому x₁=4.

За теоремою Вієта: x₁+x₂=10/3, тоді

x₂=(10/3)-4=-2/3.
Маємо: n/3=x₁*x₂=-8/3; n=-8
Відповідь: x₂=-2/3; n=-8

ПРИКЛАД №2

Не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму та добуток його
коренів: x²–12x–18=0;
Розв’язання. Нехай x₁ і x₂ — корені даного рівняння.
За теоремою Вієта: x₁+x₂=–(-12)=12, x₁*x₂=–18

Відповідь:  х₁+х₂=12, х₁*х₂=-18

ПРИКЛАД №3

Складіть квадратне рівняння, корені якого на 4
більші за відповідні корені рівняння x²+6x–14=0.
Розв’язання. Нехай x₁ і x₂ — корені даного рівняння,

x₁’ і x₂’ — корені шуканого рівняння.
За умовою: х₁’+х₂’= х₁ + 4,  x₂’= х₂ + 4.
За теоремою Вієта: x₁+ x₂ = –6, x₁*x₂ = –14.
Тоді маємо:

x₁’ + x₂’ = x₁ + 4 + x₂ + 4 = (x₁+x₂) + 8 = -6 + 8 = 2;

x₁’*x₂’ = (x₁ + 4) (x₂ + 4) = x₁*x₂ + 4x₁ + 4x₂ + 16 =

= -14 + 4*(-6) + 16 = -22 
Отже, за теоремою, оберненою до теореми Вієта, шуканим є рівняння x²–2x–22=0.
Відповідь: x²–2x–22=0.