يصنف المثلث على انه احد الاشكال الهندسية الاساسية وهو عبارة عن ثلاث نقاط رئيسية تسمى روئس المثلث تتصل مع بعضها بواصتةاضلاع وهو شكل هندسي ثنائي الابعاد ويشار الى الثلاثة تكون عبارة عن ان الاضلاع الواصلة بين روؤس المثلث ثلاثة تكون عبارة عنقطع مستقيمة ويتم تسميت رؤوس المثلث عادة a b c

زاوية الخارجية للمثلث

الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين غير المجاورة لها.

في الشكل المجاور يكون قياس الزاوية (ACD) يساوي مجموع قياسي الزاويتين (ABC) و (BAC.

مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة (واحدة لكل رأس) لأي مثلث هو 360 درجة.

تطابق مثلثين

يقال عن مثلثين أنهما متطابقان إذا توافرت أحد الشروط التالي:

1. إذا تساوت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما(ضلع، ضلع، ضلع).

2. إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني وتساوى طول الضلع المشترك بين الزاويتين مع نظيره في المثلث الثاني (زاوية، ضلع، زاوية).

3. إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتساوت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية في مثلث مع أطوال الضلعين المناظرين في المثلث الثاني (ضلع، زاوية، ضلع).

نتائج التطابق

-مساحتي المثلثين المتطابقين متساويتين.

-محيطي المثلثين المتطابقين متساويين.

تشابه مثلثين

يقال عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة لكل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. ويرمز للتشابه بالرمز (~)

حالات التشابه

1. يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما(ضلع، ضلع، ضلع).
2. يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني (زاويا).
3. يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية (ضلع، زاوية، ضلع

نتائج التشابه

-النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

-النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

مبرهنة فيثاغورس

واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هيمبرهنة فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (c) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (a, b)، أي:

{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2},}

مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث:

من الممكن تعميم مبرهنة فيثاغورس لتشمل أي مثلث عبر قانو جايب تمام:

مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضرب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام “الزاوية المحصورة بينهما”

{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab Costheta ,}

و هو صحيح لكل المثلثات حتى لو لم تكن الزاوية ( {displaystyle theta ,}) قائمة.

حساب مساحة المثلث

لنظر قوانين مساحة المثلث

باستعمال علم المثلثات

أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي :

المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع

{displaystyle Area={frac {1}{2}}bh}

حيث {displaystyle b} هي طول قاعدة المثلث و {displaystyle h} هو ارتفاع المثلث. قاعدة المثلث تمثل أي ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع هو طول العمود النازل على هذه القاعدة من الرأس المقابل لها.

من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:

يحول المثلث أولاً لمتوازي الاضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم إلى مستطيل.

قاط ومستقيمات ودوائر متصلة بالمثلث[عدل]

• المنصف العمودي أو المتوسط العمودي لمثلث هو مستقيم عمودي على أحد أضلاع المثلث من منتصفه، وتتلاقى المتوسطات العمودية لمثلث في نقطة تسمى مركز الدائرة المحيطة بالمثلث، ويكون لهذه النقطة نفس البعد عن رؤوس المثلث الثلاثة، ويكون تقاطع متوسطين عموديين فقط كافياً لمعرفة مركز هذه الدائرة.

• تقول نظرية طالس أنه إذا كان مركز الدائرة المحيطة بالمثلث على ضلع من أضلاع المثلث فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة.

• الارتفاع هو مستقيم يمر براّس من رؤوس المثلث ويكون عمودياً غلى الضلع المقابل للرأس. ويمثل الارتفاع البعد بين الرأس والضلغ المقابل له كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى مركز قائم.

• منصف الزاوية هو مستقيم يمر من أحد رؤس المثلث ويقسم الزاوية إلى نصفين وتتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمس أضلاع المثلث الثلاثة.
• المتوسط هو قطعة مستقيم تنطلق من أحد رؤس المثلث وتمر من منتصف الضلع المقابل لهذا الرأس وتتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة تسمىمركز ثقل المثلث ويكون تقاطع متوسطين فقط كافياً لمعرفة مركز الثقل. كما يكون البعد بين رأس المثلث ومركز الثقل مساوياً لـ{displaystyle {frac {2}{3}}} من طول المتوسط الصادر من ذلك الرأس.

• منتصفات الأضلاع ونقطة تقاطع الارتفاع والضلع المقابل له موجودة كلها على دائرة النقاط التسعة للمثلث والنقاط الثلاثة المتبقية هي منتصف البعد بين رأس المثلث والمركز القائم ونصف قطر دائرة النقاط التسعة يساوي ½ نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

المثلثات غير المستوية]

انظرالهندسة الكوؤية و الهندسة الزاثدية.

المثلثات في الهندسة المعمارية]

يعتقد أن المثلثات ستستعمل في المستقبل أكثر مما هي عليه الآن في المعمار، حيث تزداد الهندسة المعمارية تعقدا.

نوريكم بعض الصور

مثال: المثلث المتساوي الساقين هو المثلث الي فيهضلعان متساويان بالطول

  مثال اخار :المثلث المختلف الاضلاعوهو المثلثالي بتختلف اطوال اضلاعهبحيث لا يكونطول ضلعه فيه يساوي الاخر

عمل الطالبتين شهد دجاني وسجى سلايمة