0

Share

Log in

PAI by adham saief - Illustrated by ادهم سيف وعمير كسراوي - Ourboox.com

This free e-book was created with

Create your own amazing e-book!
It's simple and free.

PAI

by adham saief

Artwork: ادهم سيف وعمير كسراوي

Joined Jan 2018
Published Books 4

Copyright © 2018

${displaystyle {pi }}$

باي ${displaystyle {pi }}$ أو ط أو ثابت الدائرة هو ثابت رياضي يستخدم في علوم الرياضيات والفيزياء بشكل مكثف. والرمز ${displaystyle {pi }}$ مأخوذ من الحرف الإغريقي الصغير باي. وهو عدد حقيقي غير كسري أي لا يمكن كتابته على شكل ${displaystyle a/b}$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان. وهو أيضاً عدد متسامٍ أي غير جبري. يعرف هذا العدد أيضا باسم ثابتأرخميدس. ويساوي تقريبا 3.14159.

2

${displaystyle {pi }}$ هو النسبة بين محيط الدائرة وقطرها وبمعنى أوضح محيط الدائرة يساوي (3.14159) مرة من قطرها. مُثل هذا الثابت بالحرف الإغريقي ${displaystyle {pi }}$ منذ منتصف القرن الثامن عشر. ولأن ${displaystyle {pi }}$ عدد متسامي فهذا يعني عدم إمكانية حل المعضلة القديمة جداً والمتمثلة في تربيع الدائرة.

3

بما أن تعريف باي يتعلق بالدائرة، فإنها موجودة بكثرة في صيغ حساب المثلثات والهندسة الرياضية، وخصوصا تلك التي تتعلق بالدوائر والإهليلجات والكرات. وهي موجودة أيضا في صيغ من مجالات أخرى من العلوم كالعلوم الكونية ونظرية الأعداد والإحصاء والهندسة الكسيرية والديناميكا الحرارية والميكانيكا والفيزياء الكهرومغناطيسية.

ومن المعروف أن الأعداد غير النسبية لا يمكن تمثيلها بكسر عشري منته، لكن من المعتاد تقريب النسبة ط بالقيمة ${displaystyle 3.14}$ أو ${displaystyle 22/7}$ .

4

عندما يكون قطر دائرة مساويا ل 1، يكون محيطها مساويا ل ${displaystyle {pi }}$

5

الأسم

الرمز المستخدم من طرف علماء الرياضيات من أجل تمثيل النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هو الحرف الإغريقي ${displaystyle {pi }}$ و يُقرأ هذا الحرف باي و لا ينبغي خلط هذا العدد مع الحرف Π، والذي يعني الجداء. ويُنطق ${displaystyle {pi }}$ في اللغة الإنجليزية (pai).

وكان أول عالم رياضيات استعمل الحرف الإغريقي من أجل تمثيل نسبة محيط الدائرة على قطرها هو ويليام جونز، الذي استعملها في عام 1706 في عمل له.

6

${displaystyle {pi }}$

7

التعريف

${displaystyle {pi }}$ هي نسبة محيط الدائرة $C$ على قطرها b ${displaystyle pi ={frac {C}{d}}.}$

نسبة $C / d$ هي ثابته بغض النظر عن محيط أو مساحة الدائرة. هذا التعريف ل ${displaystyle pi }$ يستعمل بشكل غير مباشر مفهوم الهندسة الأقليدية المسطحة. رغم أن مفهوم الدائرة قد يمدد إلى الهندسة غير الإقليدية المنحنية، فإن هذه الدوائر الجديدة لا تحقق المعادلة ${displaystyle pi ={frac {C}{d}}.}$ . هناك تعريفات أخرى لا تستعمل نهائيا الدوائر. على سبيل المثال، ${displaystyle pi }$ هو ضعف أصغر عدد موجب حيث تنعدم دالة الجيب التمام.

8

محيط دائرة يزيد بقليل عن ثلاثة أضعاف قطرها. تساوي النسبة بينهما ${displaystyle {pi }}$ .

9

الخصائص

${displaystyle pi }$ عدد غير جذري. هذا يعني أنه لا يمكن كتابته على شكل نسبة عددين صحيحين، ك 22/7، أو أي كسر آخر مستعمل تقريبا ل ${displaystyle pi }$ . ولهذا السبب، فإن ل ${displaystyle pi }$ عدد غير منته من الأرقام بعد الفاصلة في تمثيله العشري، وأنه لا توجد أي سلسلة من الأرقام تتكرر بشكل غير منته. هناك عدة براهين تثبت أن ${displaystyle pi }$ عدد غير جذري.

${displaystyle pi }$ عدد متسام. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون جذرا لأي متعددة حدود غير منعدمة عواملها أعداد جذرية.

لتسامي ${displaystyle pi }$ نتيجتان مهمتان أولهما : لا يمكن أن يُعبر عن ${displaystyle pi }$ بأي دمج لأعداد جذرية وجذور مربعة وجذور مكعبة وما يشبه ذلك ك ${displaystyle scriptstyle {sqrt[{3}]{31}}}$ أو ${displaystyle scriptstyle {sqrt[{2}]{10}}.}$ . أما ثانيهما، فهو بما أنه يُستحال انشاء عدد متسام بواسطة البركار والمسطرة، فإنه أيضا من المستحيل تربيع الدائرة.

10

11

قيمة ${displaystyle {pi }}$ التقريبية حتى 1000 مرتبة عشرية:

3.141592653589793238462643383279502884197169399

3751058209749445923078164062862089986280348253421170679

8214808651328230664709384460955058223172535940812848

111745028410270193852110555964462294895493038196

44288109756659334461284756482337867831652712019

724587006606315588174881520920962829254091715364

3678925903600113305305488204665213841469519415116094

330572703657595919530921861173819326117931051185480744

6237996274956735188575272489122793818301194912

12

9833673362440656643086021394946395224737190702179860

943702770539217176293176752384674818467669405132

000568127145263560827785771342757789609173637178721

4684409012249534301465495853710507922796892589235

4201995611212902196086403441815981362977477130996051

870721134999999837297804995105973173281609631859

50244594553469083026425223082533446850352619311881710

10003137838752886587533208381420617177669147303

15982534904287554687311595628638823537875937519577818

57780532171226806613001927876611195909216420198

13

تاريخ ال ${displaystyle {pi }}$

14

15

في العصور القديمة والوسطى

من غير المعروف كيف ومتى اكتشف الإنسان أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد أن هذه الحقيقة قد عرفت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة المصرية والبابلية تعاملت مع ط. كان البابليون يستخدمون التقريب ${displaystyle 25/8}$ بينما استخدم المصريون التقريب ${displaystyle 256/81}$ . ويرجع حصر قيمة ${displaystyle {pi }}$ بين ${displaystyle 22/7}$ و ${displaystyle 221/73}$ إلى العالم اليوناني أرخميدس الذي ابتكر طريقة الاستنفاذ لحساب قيمة تقريبية للعدد ${displaystyle {pi }}$ .

في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ ط، وأوجد الفلكيون الهنود والصينيون عدة صيغ للقيمة التقريبية، وشارك العلماء العرب والمسلمون في تحسين تلك الصيغ، فتوصل غياث الدين جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر لحساب قيمة تقريبية صحيحة حتى ستة عشر رقما عشريا، وكان ذلك قبل ظهور الآلات الحاسبة بأربعمائة سنة.

16

PAI by adham saief - Illustrated by ادهم سيف وعمير كسراوي - Ourboox.com

عصر التقريب بمتعددي الأضلع

اعتمدت أول خوارزمية مسجلة في التاريخ والتي تمكن من حساب قيمة ${displaystyle {pi }}$ بصفة دقيقة على مقاربة هندسية تستعمل متعددي الأضلع. كان ذلك في عام حوالي 250 قبل الميلاد من طرف عالم الرياضيات الإغريقي أرخميدس. بقيت هذه الطريقة المعتمدة على متعددي الأضلع هي الطريقة الأساسية من أجل حساب ${displaystyle {pi }}$ لمدة تزيد عن الألف سنة. نتيجة لذلك، كان يشار في بعض الأحيان إلى ${displaystyle {pi }}$ **على أنها ثابتة أرخميدس.**

في عام 1424، تمكن غياث الدين الكاشي من حساب ما يكافىء ستة عشر رقما بعد الفاصلة ل π، بالاستعانة بمتعدد للأضلاع عدد أضلاعه يساوي 3×2²⁸. بقي هذا العمل الأكثر دقة في العالم لمدة تقارب 180 سنة.

18

PAI by adham saief - Illustrated by ادهم سيف وعمير كسراوي - Ourboox.com

PAI by adham saief - Illustrated by ادهم سيف وعمير كسراوي - Ourboox.com

21

المتسلسلات غير المنتهية

تطور حساب ${displaystyle {pi }}$ بشكل هائل في القرنين السادس عشر والسابع عشر بفضل اكتشاف المتسلسلات غير المنتهية، والتي هي مجاميع تحتوي على عدد غير منته من الحدود.

أول متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا كانت جداء غير منته (بدلا من مجموع غير منته كما جرت العادة من أجل حساب العدد ${displaystyle {pi }}$ )، اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت عام 1593:

${displaystyle {frac {2}{pi }}={frac {sqrt {2}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2}}}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}{2}}cdots }$

تسمى هذه المتسلسلة صيغة فييت.

22

ثاني متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا، وجدها جون واليس في عام 1655. وكانت هي أيضا جداء غير منته. تسمى هذه المتسلسلة جداء واليس.

${displaystyle {frac {pi }{2}}={frac {2}{1}}cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}}cdot {frac {8}{7}}cdot {frac {8}{9}}cdots !}$

في أوروبا، أُعيد اكتشاف صيغة مادهافا من طرف عالم الرياضيات السكوتلاندي جيمس غريغوري في عام 1671 ومن طرف لايبنز في عام 1674.

${displaystyle arctan z=z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{5}}-{frac {z^{7}}{7}}+cdots }$

**هاته الصيغة، المعروفة باسم متسلسلة غريغوري-لايبنز، تساوي ${displaystyle scriptstyle pi /4}$ عندما يساوي $z$ واحدا.**

23

في عام 1706، استعمل جون ماشن متسلسلات غريغوري-لايبنز فوجد خوارزمية تؤول إلى العدد ${displaystyle {pi }}$ بسرعة أكبر من سابقاتها.

${displaystyle {frac {pi }{4}}=4,arctan {frac {1}{5}}-arctan {frac {1}{239}}}$

باستعمال هاته الصيغة، وصل ماشن إلى مائة رقم عشري بعد الفاصلة عند إعطائه لتقريب للعدد ${displaystyle {pi }}$ . وهي الطريقة التي استعملت فيما بعد في أجهزة الحاسوب وحتى عهد قريب. انظر صيغة مشابهة لصيغة ماشن.

24

25

كون ${displaystyle {pi }}$ عددا غير جذري وكونه عددا متساميا

لم يكن الهدف الوحيد من تطور الرياضيات المتعلقة ب ${displaystyle {pi }}$ هو حساب أكبر قدر ممكن من الأرقام في تمثيلها العشري. عندما حلحل أويلر معضلة بازل عام 1735، واجدا بذلك القيمة الدقيقة لمجموع مقلوبات مربعات الأعداد الصيحيحة الطبيعية، أثبت وجود علاقة وطيدة بينها وبين الأعداد الأولية. ساهم ذلك فيما بعد، بتطور ودراسة دالة زيتا لريمان.

${displaystyle {frac {pi ^{2}}{6}}={frac {1}{1^{2}}}+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+{frac {1}{4^{2}}}+cdot cdots }$

26

برهن العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 أن ${displaystyle {pi }}$ عدد غير جذري، مما يعني أنه لا يمكن أن يساوي نسبة عددين صحيحين. استعمل برهان لامبرت تمثيلا بالكسور المستمرة لدالة الظل. برهن عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجاندر في عام 1794 أن ${displaystyle {pi }^{2}}$ هو أيضا عدد غير جذري. في عام 1882، برهن عالم الرياضيات الألماني فيردينوند فون ليندمان أن ${displaystyle {pi }}$ عدد متسام، مثبتا بذلك حدسية كل من ليجاندر و أويلر.

27

عصر الحاسوب والخوارزميات التكرارية

مع ظهور الآلات الحاسبة ثم الحاسبات الإلكترونية والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد ${displaystyle {pi }}$ ، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري. الجدير بالذكر أن فابريس حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين قام بحساب هذا العدد على حاسوب شخصي إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 يوم استخدم خلالها أسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وكتب الشفرة المصدرية بلغة سي.

28

جون فون نيومان كان عضوا في الفرقة التي التي استعملت حاسوبا للمرة الأولى من أجل حساب، إينياك (اول حاسوب الكتروني)، ${displaystyle {pi }}$ .

29

الهدف من حساب ${displaystyle {pi }}$

حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والطارة.

30

خوارزميات الحنفية

اكتشفت خوارزميتان ي عام 1995، فتحتا بابا واسعا للبحث المتعلق بالعدد ${displaystyle {pi }}$ . هاتان الخوارزميتان تسميانبخوارزميات الحنفية لأنها كسيلان الماء من حنفية، تنتج أرقاما في التمثيل العشري للعدد ${displaystyle {pi }}$ ، لا تستعمل ولا يُحتاج إليها بعد حسابها.

اكتشفت خوارزمية حنفية أخرى في عام 1995، وهي خوارزمية BBP لاستئصال الأرقام العشرية. تم اكتشافها من طرف سيمون بلوف.

${displaystyle pi =sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{16^{k}}}left({frac {4}{8k+1}}-{frac {2}{8k+4}}-{frac {1}{8k+5}}-{frac {1}{8k+6}}right)}$

كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الأرقام السداسية عشر والثنائية دون حساب سابقاتها وبها أمكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية.

31

اما في العصر الحديث فقد ظهرت خوارزميات أكثر تقاربا بكثير مثل:

سلسلة سرينيفاسا:

${displaystyle {frac {1}{pi }}={frac {2{sqrt {2}}}{9801}}sum _{k=0}^{infty }{frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}!}$

سلسلة الاخوان تشوندوفيسكي التي سمحت لاول مرة تقريب ط لمليار مرتبة عشرية عام 1989 باستخدام الحاسوب العملاق:

${displaystyle {frac {426880{sqrt {10005}}}{pi }}=sum _{k=0}^{infty }{frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}!}$

و كان لخوارزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:

${displaystyle a_{0}=1quad quad quad b_{0}={frac {1}{sqrt {2}}}quad quad quad t_{0}={frac {1}{4}}quad quad quad p_{0}=1!}$

32

ثم المعاودة:

${displaystyle a_{n+1}={frac {a_{n}+b_{n}}{2}}quad quad quad b_{n+1}={sqrt {a_{n}b_{n}}}!}$

${displaystyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}quad quad quad p_{n+1}=2p_{n}!}$

**حتى تصبح a_n وb_n متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب ${displaystyle {pi }}$**

${displaystyle pi approx {frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.!}$

33

في عام 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع q = e^π]]، وبالتالي

${displaystyle {frac {pi }{24}}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n}}left({frac {3}{q^{n}-1}}-{frac {4}{q^{2n}-1}}+{frac {1}{q^{4n}-1}}right)}$

${displaystyle {frac {pi ^{3}}{180}}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{3}}}left({frac {4}{q^{n}-1}}-{frac {5}{q^{2n}-1}}+{frac {1}{q^{4n}-1}}right)}$

وأخرى بالشكل،

${displaystyle pi ^{k}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{k}}}left({frac {a}{q^{n}-1}}+{frac {b}{q^{2n}-1}}+{frac {c}{q^{4n}-1}}right)}$

حيث q = e^π, k هو عدد فردي، وa, b, c are اعداد نسبية. إذا كانت k على الشكل 4m + 3، تصبح الصيغة بالشكل المبسط،

${displaystyle ppi ^{k}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{k}}}left({frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{frac {1}{q^{4n}-1}}right)}$

34

صيغة بيلار

تم تحسين منشور سيمون بلوف بواسطة فابريس بيلارد واكتشاف صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي جديد على حاسوب شخصي لايتجاوز سعره 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009 وتدعى هذه الصيغة بصيغة بيلارد:

${displaystyle {begin{aligned}pi ={frac {1}{2^{6}}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}},left(-{frac {2^{5}}{4n+1}}right.&{}-{frac {1}{4n+3}}+{frac {2^{8}}{10n+1}}-{frac {2^{6}}{10n+3}}left.{}-{frac {2^{2}}{10n+5}}-{frac {2^{2}}{10n+7}}+{frac {1}{10n+9}}right)end{aligned}}}$

35

PAI by adham saief - Illustrated by ادهم سيف وعمير كسراوي - Ourboox.com

Published: Mar 20, 2018
Latest Revision: Mar 20, 2018
Ourboox Unique Identifier: OB-451192
Copyright © 2018

This free e-book was created with

Create your own amazing e-book!
It's simple and free.

0