Вектори у просторі

1. Координати вектора

 Координати вектора   , що має початок у точці А і кінець на точці В, дорівнюють різницею відповідних координат точок В і А.

Координати вектора у космосі

     Якщо початком вектора є точка А ( х _А ; у _А ; z _A ), а кінцем – точка В ( х _В ; у _У ; z _B ), то

     2.  Довжина вектора

Довжина вектора (абсолютна величина, або модуль)  – довжина відрізка, що зображує вектор. Позначення:  .

Довжина вектора у просторі

     Якщо є вектор , то  =  , де   – модуль вектора,   – його координати.

     Одиничним називається вектор  , у якого  .

     Нульовим називається вектор  , у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напряму, а його модуль дорівнює нулю.

     Задача 1 . Знайдіть координати і довжини векторів  і , якщо А (2; -3; -1), В (-4; -8; 5), С (3; 1; -2).

Розв’язування

 (- 4 – 2; – 8 – (- 3); 5 – (- 1)) =   (- 6; – 5; 6) ];

 (3 – 2; 1 – (- 3); -2 – (- 1)) =  (1; 4; -1) ];

 =  ;

 =  .

     Відповідь :  ,  , ,  .

Рівність векторів у просторі

Протилежні вектори у просторі

     Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів. Позначення таке саме, як і для добутку чисел, – .

Скалярний добуток двох векторів на площині

     Якщо є вектори , то .

     Теорема. Скалярний добуток двох векторів  дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

     Отже, .

     Задача 4. Знайдіть кут між векторами  і .

Розв’язання

     Скористаємося формулою

,

;

;

;

тоді .

Звідси .

  Відповідь: .

     Якщо вектори перпендикулярні, то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

      І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

     Задача 5. При якому значенні р вектори  і  взаємно перпендикулярні?

Розв’язання

     Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

, тоді . Звідси р=5.

     Відповідь: р=5.