Цікаві узагальнення теореми Піфагора

Теоре́ма Піфаго́ра — одна із засадничих теорем евклідової геометрії, яка встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що її довів грецький математик Піфагор, на чию честь її й названо (є й інші версії, зокрема думка, що цю теорему в загальному вигляді було сформульовано математиком-піфагорійцем Гіппасом).Піфагор казав:«Все в природі розділено на три частини. Тому перш ніж вирішувати будь-яку проблему, її треба представити у вигляді трикутної діаграми. Побачите трикутник – і завдання на дві третини вирішено ».

Теоремою Піфагора та його школою захоплюється людство протягом  всієї історії, їм присвячені вірші, пісні, малюнки, картини. Так, художник Ф.А. Бронніков (1827-1902) намалював картину «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу»

«Теорема Піфагора. Эллас. 350 драхм»

Ця  красива   марка майже єдина серед  багатьох тисяч існуючих, на  яких зображено математичний факт.

Доведення теореми Піфагора, учні середніх століть вважали дуже важким і називали його Dons asinorum – ослиний міст , або elefuga – втеча “убогих ” , так як деякі ” убогі ” учні , які не мали серйозної математичної підготовки , бігли від геометрії . Слабкі учні , завчали теореми напам’ять , без розуміння , і прозвані тому ” ослами ” , були не в змозі подолати теорему Піфагора , що служила для них начебто непереборним мостом. Через креслення  супроводжуючих теорему Піфагора , учні називали її також  “вітряком ” , складали вірші на кшталт ” Пифагорові штани на всі сторони рівні ” , малювали карикатури.

В кінці дев’ятнадцятого століття висловлювалися різноманітні припущення про існування мешканців Марса подібних людині. Жартома, хоча і не зовсім безпідставно, було вирішено передати мешканцям Марса сигнал у вигляді теореми Піфагора. Невідомо, як це зробити; але для всіх очевидно, що математичний факт, що виражався теоремою Піфагора має місце всюди і тому схожі на нас мешканці іншого світу повинні зрозуміти такий сигнал.

Давні єгиптяни ще за 2000 років до нашої ери застосовували теорему, обернену до теореми Піфагора, для побудови прямого кута на місцевості. Для цього вони ділили мотузку на 12 рівних частин. Зв’язували її кінці, після чого розтягували мотузку на землі так, щоб утворився трикутник із сторонами 3, 4 і 5. Кут, який лежить проти сторони, що містить п’ять рівних частин – прямий.  Трикутник зі сторонами 3,4,5 – єгипетський трикутник.До піфагорових трикутників належать трикутники, сторони яких пропорційні сторонам єгипетського трикутника. Наприклад: 6, 8, 10;   9, 12, 15; 12, 16, 20; … .

Також історію теореми можна розділити на чотири частини: знання про Піфагорові числа знання про відношення сторін у прямокутному трикутнику, знання про відношення суміжних кутів і доведення теореми.

Мегалітичні споруди близько 2500 до н. е. в Єгипті та Північній Європі містять прямокутні трикутники зі сторонами з цілих чисел. Бартель Ван дер Вандер висловив гіпотезу, що в ті часи Піфагорові числа були знайдені алгебраїчно.

Написаний між 2000 та 1876 до н. е. папірус часів Середнього гипетського царства Berlin 6619 містить задачу, розв’язком якої є числа Піфагора.

Написана під час правління Хамурапі Великого (між 1790 і 1750 до н.е) вавилонська табличка Plimpton 322 містить багато записів, тісно пов’язаних з числами Піфагора.

В сутрах Будхаяни, які датуються за різними версіями 8-им чи 2-им століттям до н. е. в Індії, містяться Піфагорові числа, виведені алгебраїчно, формулювання теореми Піфагора та геометричне доведення для рівнобедреного прямокутного трикутника.

В сутрах Апастамби (близько 600 до н. е.) міститься числове доведення теореми Піфагора з використанням обчислення площі.Ван дер Вандер вважає, що воно було засноване на традиціях попередників. Згідно з Альбертом Бурком, це оригінальне доведення теореми, і він припускає, що Піфагор відвідав Араконам і скопіював його.

Близько 400 до н. е. згідно з Проклом, Платон дав метод розрахунку піфагорових трійок, що поєднував алгебру та геометрію. Близько 300 до н. е., в ,,Началах” Евкліда маємо найдавніше аксіоматичне доведення, яке збереглося до наших днів.

Написана десь між 500 до н. е. і 200 до н. е., китайська математична книга ,,Чу Пей” дає візуальне доведення теореми Піфагора, яка в Китаї називається теорема Гугу (кит. 勾股定理), для трикутника із сторонами (3, 4, 5). Під час правління династії Хань, з 202 до н. е. до 220 н. е. Піфагорові трійки з’являються в книзі ,,Математика в дев’яти книгах” разом із згадкою про прямокутні трикутники.Вперше зафіксовано використання теореми в Китаї, де вона відома як теорема Гугу, та в Індії, де вона відома як теорема Баскара.Багато дискутується, чи була теорема Піфагора відкрита один раз чи багато разів. Бойер (1991) вважає, що знання, виявлені в Шульба Сутрах, можуть бути месопотамського походження.

Також є Піфагорові трійки — це три натуральні числа a b та c такі, що виконується рівність . Іншими словами, Піфагорові трійки — це сторони прямокутного трикутника, якщо всі вони є цілими. На мегалітичних спорудах в північній Європі є свідчення, що відомості про такі трійки були відомі до винайдення писемності. Такі трійки зазвичай записують у вигляді (a,b,c)} Деякі найвідоміші приклади: (3, 4, 5) та (5, 12, 13).

Примітивними Піфагоровими числами називають такі a, b та c, які є взаємно простими (найбільший спільний дільник a, b та c дорівнює 1)

Нижче наведено перелік примітивних Піфагорових чисел менших від 100:(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97).

Узагальнення теореми Піфагора від Сабіта ібн Курра.

Узагальнення для довільних трикутників,
зелена площа дорівнює синій площі.

Побудова доведення для узагальнення паралелограмів.

Теорема Піфагора в тривимірному просторі пов’язує діагональ AD з трьома сторонами.

“Піфагорові штанці файні є у три кінці”.

“Хто в сорочці Піфагора – піднось руки вгору.”