Методичні рекомендації для вчителів математики

                  Про викладання математики у 2021/2022 н.р.

На сучасному етапі шкільна математична освіта має бути спрямованою на виявлення та розвиток здібностей та обдаровань особистості, її індивідуальних здібностей, досягнення результатів навчання математики, формування і застосування предметних та ключових компетентностей, визначених державним стандартом. Головним завданням є формування математичної компетентності у взаємозв’язку з іншими ключовими компетентностями, для успішної освітньої та подальшої діяльності впродовж життя, що передбачає засвоєння системи знань, удосконалення вміння розв’язувати математичні та практичні задачі, розвиток логічного мислення, розуміння можливостей застосування математики в особистому та суспільному житті, вироблення стійких механізмів самонавчання, самовиховання і саморозвитку. Нормативно-методичне забезпечення викладання математики Вивчення математики у 2021/2022 н.р. у 5-11 класах має забезпечувати реалізацію Державного стандарту базової і повної загальної середньої освіти, затвердженого постановою Кабінету Міністрів України від 23 листопада 2011 р. № 1392 (окрім пілотних класів НУШ). Виконання вимог державного стандарту є обов’язковим для всіх закладів загальної середньої освіти незалежно від підпорядкування, типів і форми власності. Заклади загальної середньої освіти ІІ ступеня формують освітні програми на основі Типової освітньої програми (Наказ МОН України №405 від 20.04 2018 р. «Про затвердження типової освітньої програми закладів загальної середньої освіти ІІ ступеня»), а заклади загальної середньої освіти ІІІ ступеня – на основі «Типова освітня програма закладів загальної середньої освіти ІІІ ступеня», затвердженої наказом МОН України від 20.04.2018 №408 (у редакції наказу МОН України від 28.11.2019 №1493). Дані документи окреслюють рекомендовані підходи до планування й організації у школах єдиного комплексу освітніх компонентів. Навчання математики у закладах загальної середньої освіти буде реалізовуватись за програмами: 5-9 класи – «Математика. Навчальна програма для учнів 5-9 класів загальноосвітніх навчальних закладів»; 8-9 клас (з поглибленим вивченням математики) – «Навчальна програмама для поглибленого вивчення математики у 8–9 класах загальноосвітніх навчальних закладів», 10-11 класи – Навчальні програми для 10-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. Математика. до 2021/2022 навчального року Майбуття. ЛИПЕНЬ-СЕРПЕНЬ, 2021, №№ 13-16 (660-663) 15 Ознайомитись із програмами можна на сайті Міністерства освіти і науки України. Програми позбавлені жорсткого поурочного поділу, вчителі можуть обирати послідовність розкриття навчального матеріалу в межах окремої теми, але так, щоб не порушувалась логіка його викладу. Навчальні програми укладено на компетентнісній основі. Акцент зроблено на формування практичних навичок для подальшого їх застосування у реальному житті. Навчання математики в основній та старшій школі спрямовано на формування предметної математичної компетентності, сутнісний опис якої подано у розділі «Очікувані результати навчальнопізнавальної діяльності» програми. Крім того, навчання математики має зробити певний внесок у формування ключових компетентностей. Також значна увага приділяється вивченню наскрізних ліній, а саме: «Екологічна безпека та сталий розвиток», «Громадянська відповідальність», «Здоров’я і безпека», «Підприємливість та фінансова грамотність». Безперечно основним засобом імплементації наскрізних ліній у математику є вибір задач. Також це можливо за рахунок виконання навчальних проєктів, під час виконання яких учні повинні працювати групами, розділяти ролі, вчитись взаємодіяти в колективі, шукати та аналізувати інформацію, презентувати власні напрацювання на загал. З особливостями вивчення математики у 5 – 11 класах за діючими навчальними програмами можна ознайомитися в методичних рекомендаціях МОН України та Методичних рекомендаціях ХОІППО попередніх років. Програмне забезпечення варіативної складової. З метою створення необхідних умов для більш повної реалізації освітньої, розвивальної та виховної складових навчання математики, врахування інтересів, здібностей, потреб та можливостей учнів рекомендуємо використовувати потенціал варіативної складової навчального плану, яка передбачає проведення курсів за вибором та факультативів. Навчальні програми, орієнтовне календарно-тематичне планування та методичні рекомендації щодо викладання курсів за вибором та факультативів надруковані у збірниках: 1. Збірник програм для допрофільної підготовки та профільного навчання (у двох частинах) / Упор. Н.С. Прокопенко, О.П. Вашуленко, О.В. Єргіна. 2. Логіка. Програма факультативного курсу для 5-9 класів. Автори: Буковська О.І., Васильєва Д.В. (2020 р.) Нагадуємо, що в освітньому процесі заклади загальної середньої освіти можуть використовувати лише навчальну літературу, що має гриф Міністерства освіти і науки України або висновок «Схвалено для використання в загальноосвітніх навчальних закладах» відповідною комісією Науково-методичної ради Міністерства освіти і науки України. З переліком навчальної літератури, який постійно оновлюється, можна ознайомитися на офіційному вебсайті ДНУ «Інститут модернізації змісту освіти». Також на вебсайті ІМЗО розміщені у вільному доступі електронні версії підручників. Організація освітнього середовища має відповідати наступним документам: Наказ МОН України №574 вiд 29.04.2020 «Про затвердження Типового переліку засобів навчання та обладнання для навчальних кабінетів і stem-лабораторій». Оцінювання навчальних досягнень учнів Здійснення контролю забезпечує своєчасне корегування навчального процесу з метою приведення його до рівня, заданого програмою й стандартом, що окреслюють очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів. Учні з самого початку навчання повинні знати, яких результатів їм потрібно досягти, і що від них очікують. У цьому полягає й певний стимул до підвищення якості власних знань і умінь. Основними видами оцінювання з математики є поточне, тематичне, семестрове, річне оцінювання та підсумкова державна атестація. Основною ланкою в системі контролю у закладах загальної середньої освіти є поточний контроль, що проводиться систематично з метою встановлення правильності розуміння навчального матеріалу й рівнів його опанування та здійснення корегування щодо застосовуваних технологій навчання. Основна функція поточного контролю – навчальна. Запитання, завдання, тести спрямовані на закріплення вивченого матеріалу й повторення пройденого, тому індивідуальні форми доцільно поєднувати із фронтальною роботою класу. Тематичне оцінювання проводиться на основі поточного оцінювання. Під час виставлення тематичного балу результати перевірки робочих зошитів не враховуються. Семестрове оцінювання здійснюється на підставі тематичних оцінок. Більш детальну інформацію щодо ведення та перевірки зошитів з математики в навчальних закладах містять методичні рекомендації, які надруковані журналі «Математика в школах України», №22-24. 2016 р. та «Інструктивно-методичних рекомендаціях щодо вивчення математики у 2017-2018 навчальному році у загальноосвітніх навчальних закладах». Особливу увагу вчителів математики звертаємо на об’єктивність оцінювання навчальних досягнень учнів, зміни у підходах до оцінювання у системі загальної середньої освіти та вимоги до виконання письмових робіт та перевірки зошитів, які запропоновані у додатку до листа Міністерства освіти і науки України від 03.07.2018 р. № 1/9-415, у якому вміщені «Методичні рекомендації щодо викладання математики у 2018-2019 навчальному році». У 10-11 класах, що вивчають математику на рівні стандарт, семестрове оцінювання здійснюється на підставі тематичного окремо з алгебри і початків аналізу і окремо з геометрії. Типовою освітньою програмою закладів загальної середньої освіти ІІІ ступеню передбачене оцінювання учнів 10-11-х класів з математики. Семестрова оцінка з математики виводиться як середнє арифметичне семестрових оцінок з двох математичних курсів (алгебри і початків аналізу та геометрії) та здійснюється округлення до цілого числа. (Наприклад, учень/учениця має семестрові оцінки 8 з алгебри і початків аналізу і 9 з геометрії. Тоді середнє значення становитиме (8+9):2=8,5≈9. Отже, семестрова оцінка з математики – 9). Семестрова оцінка з математики виставляється без дати до класного журналу на сторінку з алгебри і початків аналізу в колонку з надписом «І семестр. Математика», «ІІ семестр. Математика» та на сторінку зведеного обліку. до 2021/2022 навчального року 16 Майбуття. ЛИПЕНЬ-СЕРПЕНЬ, 2021, №№ 13-16 (660-663) Семестрова оцінка може підлягати коригуванню відповідно до «Інструкції з ведення класного журналу учнів 5-11(12)-х класів загальноосвітніх навчальних закладів», затвердженої наказом Міністерства освіти і науки України від 03 червня 2008 року № 496. Коригована семестрова оцінка з математики виводиться як середнє арифметичне скоригованих семестрових оцінок з двох математичних курсів (алгебри і початків аналізу та геометрії) та здійснюється округлення до цілого числа за наведеним прикладом. Виставляється коригована семестрова оцінка з математики на сторінку з алгебри і початків аналізу. Річне оцінювання здійснюється на основі семестрових або скоригованих семестрових оцінок з математики. Річна оцінка з математики виставляється на сторінку з алгебри і початків аналізу в стовпчик з надписом «Річна. Математика». На сторінку зведеного обліку навчальних досягнень учнів річна оцінка з математики виставляється у стовпчик «Математика». Підготовка до ЗНО. Зміст сертифікаційної роботи з математики визначатиметься Програмою зовнішнього незалежного оцінювання результатів навчання з математики, здобутих на основі повної загальної середньої освіти. Рекомендуємо для підготовки учнів використовувати матеріали Всеукраїнського центру якості освіти, завдання ЗНО з математики попередніх років. Календарно-тематичне та поурочне планування здійснюється у довільній формі, у тому числі з використанням друкованих чи електронних джерел тощо. Формат, обсяг, структура, зміст та оформлення календарно-тематичних планів та поурочних планівконспектів є індивідуальною справою вчителя. Встановлення універсальних у межах закладу загальної середньої освіти міста, району чи області стандартів таких документів є неприпустимим. Під час розроблення календарно-тематичного та системи поурочного планування вчителю/вчительці необхідно самостійно вибудовувати послідовність формування очікуваних результатів навчання, враховуючи при цьому послідовність розгортання змісту в обраному ними підручнику. Учитель може самостійно переносити теми уроків, відповідно до засвоєння учнями навчального матеріалу, визначати кількість годин на вивчення окремих тем. У зв’язку епідеміологічною ситуацією у світі та необхідністю введення карантинних заходів задля запобігання поширення вірусних хвороб під час календарно-тематичного планування важливо врахувати можливість організації освітнього процесу в межах навчального року в умовах карантину. Для організації дистанційного навчання в цей період пропонуємо скористатися методичними рекомендаціями, поданими у листах МОН від 23.03.2020 № 1/9-173; від 16.04.2020 № 1/9-213; методичними рекомендаціями «Організація дистанційного навчання в школі» (упорядник І. Коберник), розробленими за підтримки МОН України Рекомендовані форми організації освітнього процесу. Основними формами організації освітнього процесу є різні типи уроку: формування компетентностей; розвитку компетентностей; перевірки та/або оцінювання досягнення компетентностей; корекції основних компетентностей; комбінований урок. Також формами організації освітнього процесу можуть бути екскурсії, уроки – семінари, конференції, форуми, квести, інтерактивні уроки, інтегровані уроки, проблемний урок, відео-уроки, пресконференції тощо. Цифрові інструменти вчителя математики. Сучасні інформаційні технології суттєво впливають на ефективність проведення уроків математики, надають можливість удосконалювати організацію уроку, діагностувати рівень сформованості знань та вмінь, активізувати пізнавальну діяльність учнів, поглиблювати знання. Доцільно у процесі навчання математики використовувати GeoGebra – педагогічний програмний продукт, який поєднує динамічну геометрію, алгебру, математичний аналіз і статистику. За допомогою GeoGebra можна швидко створювати високоякісні графічні зображення математичних об’єктів (графіки функцій, графіки рівнянь, геометричні фігури, формули тощо) і потім їх зберігати у файлах графічних форматів (png; svg) або експортувати до буфера обміну. Після цього отримані рисунки можна використовувати для створення друкованих дидактичних матеріалів, мультимедійних презентацій навчального призначення тощо. Засвоєнню математики допоможуть віртуальні середовища: цифрові інструменти для вчителя: IXL -адаптивна навчальна платформа для вчителів, які створюють навчальні ігри для своїх учнів. Найбільше підходить для англійської та математики. GoFormative – інструмент підходить для перевірки знань та їх актуалізації. Надає вчителю можливість створювати опитування і перевіряти знання в режимі реального часу. Pear Deck слугує для створення інтерактивних презентацій, слайди яких містять зображення, текст і відеоконтент. Цей інструмент дозволяє вчителю під час активної сесії взаємодіяти з аудиторією, створюючи завдання по ходу демонстрації презентації. До роботи з презентацією учасники приєднуються через аканти Google. Nearpod- це онлайн-платформа, яка дозволяє вчителям створювати презентації до своїх занять і ділитися ними з учнями прямо під час уроку. за допомогою інтерактивних презентацій Wizer.Me – конструктор робочих аркушів Wizer вітає досвід та творчі здібності викладачів, дозволяючи швидко створювати різноманітні типи запитань: відкриті запитання, множинний вибір, відповідні пари, заповнення порожнього місця, заповнення зображення, таблиць тощо. Matific – безкоштовний ресурс для вивчення математики в ігровій формі для учнів 1-6 класів. Учні можуть вирішувати задачі, проходити тести, досліджувати математичні концепції та прийоми. Matific дозволяє відстежувати успіхи всіх учнів через звіти в реальному часі (для цього потрібно заповнити форму). MangaHigh пропонує вчителям величезну кількість освітніх ресурсів на базі ігрового навчання з математики. Математика на Khan Academy – українська версія навчальних відео популярної освітньої платформи Khan Academy. Тут можна знайти уроки з геометрії, тригонометрії та алгебри. У класі – безкоштовні відеоуроки з математики від 5 до 11 класу (алгебра, геометрія і стереометрія). Формат навчання максимально наближений до реального: вчитель пояснює теми біля дошки. Формула – сайт, де можна почитати теорію з арифметики, алгебри, геометрії і тригонометрії, подивитися анімовані графіки і перевірити себе за допомогою онлайн-калькуляторів. До уроків прикріплені документи із завданнями (разом із відповідями). Quizlet: Quizlet полегшує педагогам процес створення навчальних посібників для школярів, особливо різних карток, які допомагають легко запам’ятати важливу інформацію. Google Education: Google пропонує цілий ряд цікавих ресурсів, що стосуються освітніх технологій для вчителів, в тому числі електронну пошту і сумісні з нею додатки, відео, плани уроків, професійний розвиток і навіть освітні гранти. до 2021/2022 навчального року Майбуття. ЛИПЕНЬ-СЕРПЕНЬ, 2021, №№ 13-16 (660-663) 17 Під час підготовки вчителів до уроків радимо використовувати періодичні фахові видання: «Математика в рідній школі», «Математика», «Математика в школах України». Окрім того, рекомендуємо використовувати в роботі матеріали вебсайта PISA, зокрема, «10 запитань від учителів математики і як PISA може допомогти відповісти на них». У 2022 році в Україна вдруге долучиться до Програми міжнародного оцінювання учнів – PISA. PISA не перевіряє рівня навчальних досягнень учнів, натомість оцінює наскільки учень зможе використовувати знання й уміння, отримані в школі, за можливих життєвих труднощів і викликів. У кожному циклі даного дослідження обирається провідна галузь (математика, читання або природничі науки). Це дозволяє детальніше вивчити питання про навчальні досягнення учнів. Провідна галузь дослідження у циклі 2018 року — читання, 2022 – математика. Тобто головна увага буде приділятися математичній грамотності – здатності особи до визначення й усвідомлення ролі математики в сучасному світі, наданні добре обґрунтованих суджень, умінні використовувати математику в особистих цілях і в суспільному житті. Детальну інформацію про PISA – рамкові матеріали, зразки завдань попередніх циклів, новини про стан підготовки до проведення дослідження в Україні – розміщено на офіційному сайті Програми в Україні: pisa.testportal. gov.ua. У черговому випуску «PISA in Focuse» досліджено, як учні вивчають математику. • У порівнюваних групах кількість 15-річних, які повідомляють, що вони використовують запам’ятовування, у країнах Східної Азії менша, ніж у деяких англомовних країнах. • У жодній з освітніх систем, які беруть участь у PISA, хлопці не повідомляли про більш інтенсивне використання запам’ятовування під час вивчення математики, ніж дівчата. • Запам’ятовування як стратегія навчання може працювати, коли треба вирішувати прості завдання, але його ефективність маловірогідна, якщо це єдина стратегія, яку використовують, коли потрібно вирішувати складні математичні задачі. Розпорядженням Кабінету Міністрів України від 5 серпня 2020 р. № 960-р. схвалено Концепцію розвитку природничо-математичної освіти (STEM-освіти), в якій зазначено, що розвиток національної економіки, зокрема виробництво «цифрових» продуктів, ставить перед сферою освіти завдання щодо генерування нових ідей і знань, створення нових технологій, розв’язання проблем, що можливо досягнути шляхом впровадження проблемного навчання, створення на заняттях проблемних ситуацій для самостійного здобуття необхідних знань у процесі їх вирішення. Природничо-математична освіта (STEM-освіта) повинна стати одним з пріоритетів розвитку сфери освіти, складовою частиною державної політики з підвищення рівня конкурентоспроможності національної економіки та розвитку людського капіталу, одним з основних факторів інноваційної діяльності у сфері освіти, що відповідає запитам економіки та потребам суспільства. Для реалізації STEM-підходу при вивченні математики радимо скористатися напрацюваннями: Навчальнометодичні матеріали для педагогічних працівників, Педагогічний вісник ПОДІЛЛЯ №1 (2021) – випуск журналу присвячений упровадженню STEMтехнологій у навчальних закладах області. Пропонуємо педагогам приймати участь у творчих змаганнях та ділитись власним досвідом. «Краща STEM-публікація – 2021» (Наказ МОН від 13.05.2021 № 46 «Про проведення Заходу «Краща STEMпублікація – 2021») в творче змагання, яке проводить відділ STEM-освіти ДНУ «Інститут модернізації змісту освіти», проходитиме у два етапи і сприятиме розвитку досліджень з напрямів STEM-освіти в Україні та мотивуватиме педагогів, науковців, практиків до написання актуальних наукових статей із означеної тематики. З метою STEM-підходу навчання математики і розвитку дослідницьких навичок у 5-6 класах можна використати робочий зошит з математики для учнів «Я дослідник» (автор Васильєва Д.В.). Навчальні завдання зошита орієнтовані на формування в учнів навичок самостійної роботи з різними джерелами інформації, оформляти результати спостережень у письмовому вигляді, формулювати думку, проводити самоаналіз, здійснювати самоконтроль і самооцінку. Для формування й розвитку в учнів основної школи предметних компетентностей під час вивчення курсів алгебри і геометрії, а також з метою надання допомоги в реалізації завдань компетентнісно орієнтованого навчання призначена серія навчальних посібників «Формування предметних компетентностей» за редакцією Н.А. Тарасенкової, що розроблена за сприяння Інституту педагогіки НАПН України. Рекомендуємо залучати учнів до інтелектуальних змагань всеукраїнського та міжнародного рівнів, серед яких Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики, Інтернет-олімпіади з математики, Всеукраїнський турнір юних математиків, Міжнародний математичний конкурс «Кенгуру», Міжнародний математичний конкурс «Карібу». Розвивати навички усних математичних розрахунків учнів допоможе участь у міжнародному освітньому проекті МІКСІКЕ в Україні / ПРАГЛІМІНЕ . http://miksike.net.ua/#pranglimine.

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧНЕ ПЛАНУВАННЯ

 

Алгебра: https://vse.ee/ia

Геометрія: https://vse.ee/if

Математика: https://vse.ee/ij

 

 

Концепція розвитку природничо-математичної освіти

(STEM-освіти)

Уроки узагальнення та систематизації знань:

традиційні й нетрадиційні підходи

Проблема узагальнення і систематизації – давнішня психологічна і педагогічна проблема. Узагальнення і систематизація є невід’ємними компонентами розумової діяльності, яка лежить в основі встановлення істотних взаємозв’язків між явищами, які вивчаються. Послідовне здійснення систематизації – необхідна умова формування узагальнених знань, особливо в математиці – бо, якщо хоча б один ланцюг випадає, то стають незрозумілими і наступні поняття, теореми, методи тощо. Узагальнення відіграє надзвичайно важливу роль у процесі навчання, оскільки на його основі учні засвоюють наукові поняття, вчаться визначати їх загальні і істотні ознаки. Послідовне здійснення систематизації – необхідна умова формування узагальнених знань, які творчо використовуються в різних ситуаціях. Узагальнення знань, в свою чергу, передбачає їх систематизацію.

Для шкільного курсу математики характерним є те, що багато понять не вводяться відразу в повному обсязі і змісті, а розширюються і збагачуються послідовно, в міру розвитку курсу. На занятті, в процесі узагальнення теми чи розділу, учень має можливість оглянути вивчений матеріал, виділивши найголовніше. При цьому одночасно йде повторення навчального матеріалу, поглиблюються, виробляються інтелектуальні і практичні вміння і навички.

У процесі роботи над математичним матеріалом особливо великого значення набуває повторення кожної закінченої теми чи цілого розділу курсу та проведення узагальнення і систематизації здобутих знань, умінь, навичок. Для тематичного повторення виділяються спеціальні уроки, на яких концентрується та узагальнюється матеріал однієї якої-небудь теми.

Як відомо, на уроці узагальнення та систематизації знань переслідується мета встановлення як внутрішніх зв’язків засвоєної системи знань, так і зовнішніх, міжсистемних зв’язків на основі попередньо вивченого. Уроки цього типу передбачають в основному індуктивний підхід: від окремого до загального, їхню структуру складають: ознайомлення учнів з темою, цілями та завданнями уроку; мотивація учіння; відтворення здобутих знань; узагальнення та систематизація їх із встановленням внутрішньо-системних та зовнішньо системних зв’язків; підведення підсумків уроку; повідомлення та пояснення домашнього завдання. Зазвичай уроки узагальнення та систематизації знань близькі за своїм типом до уроків повторення, проводяться в кінці теми, чверті або навчального року. Специфіка їх полягає в тому, що вчитель для систематизації та узагальнення виділяє вузлові питання програми, засвоєння яких зумовлює оволодіння предметом.

Основними  завданнями  узагальнюючих  уроків  є:

• актуалізація і зміцнення знань, назв, фактів;
• зміцнення умінь і навичок;
• систематизація, узагальнення знань;
• розгляд нових зв’язків у світлі вже відомих раніше фактів;
• поглиблене пояснення вже відомих складних понять;
• тренувальні роботи учнів.

Зазвичай на уроках узагальнення та систематизації знань використовують такі методи, як бесіда, оглядові лекції, усне опитування, розв’язування вправ тощо. Іноді при тематичному повторенні складаються підсумкові схеми або таблиці, які економно і наочно показують спільне для понять, що входять у дану тему, їх взаємозв’язок у логічній послідовності. Процес складання таблиць є одночасно і формами письмових вправ при узагальнюючому і систематизуючому повторенні. Послідовне вивчення різних особливих випадків при повторенні дуже корисно закінчувати їхньою класифікацією, що допоможе учням ясніше розрізнити окремі випадки і групувати їх по певній ознаці.

Слід зазначити, що разом з традиційними методами на уроках узагальнення та систематизації знань можна використовувати й інші методи, які є більш популярними для предметів гуманітарного циклу, ніж для фізико-математичних шкільних дисциплін. Питанню ознайомлення вчителів з нетрадиційними методами проведення узагальнення та систематизації знань з математики і було присвячене нещодавна проведене засідання методичного об’єднання вчителів математики шкіл м. Сміли, що на Черкащини. На цьому зібранні педагоги познайомилися і «випробували на собі» як можна використовувати на уроках узагальнення та систематизації такі методи, як «Сенкан», «Асоціативний кущ», «РОФТ», «Веб-квест».

Метод „Сенкан”. Сенкан використовується для розвитку в учнів здатності узагальнювати і систематизувати інформацію. Це вимагає ретельного обмірковування на основі глибокого розуміння речей. Сенкан спонукає учнів із великого обсягу інформації відібрати головне й відтворити у стислій формі. Сенкан (синканта,  синквейн) – неримований 5-ти рядковий вірш (синквейн з французької мови означає «п’ять рядків»).

Перший рядок –  тема – іменник.

Другий рядок – опис – два прикметника;

Третій рядок –  дія – три дієслова;

Четвертий рядок – відношення (особисте ставлення автора синквейна до описуваного предмету або об’єкта.) або просто речення про іменник з першого рядка (зазвичай з чотирьох слів);

П’ятий рядок –   перефразування суті або слово-асоціація (синонім до першого рядка).

Ось які сенкани написали учасники методичного семінару:

1. Трикутник.

Прямокутний, тупокутний.

Накреслити, розв’язати, дослідити.

Сума всіх сутів трикутника дорівнює 180 градусів.

Геометрична фігура.

2. Вектор.

Одиничний, нульовий.

Знайти, накреслити, спроектувати.

Вектор – це напрямлений відрізок.

Математичний термін.

3. Чотирикутник.

Опуклий, неопуклий.

Накреслити, розв’язати, описати.

Паралелограм, ромб, квадрат, прямокутник, трапеція – чотирикутники.

Геометрична фігура.

До цікавих, нетрадиційних і таких технологій, які можуть бути використані вчителем математики на уроці узагальнення та систематизації знань, можна віднести і технологію веб-квест. Веб-квест від англійського “web-quest” – „Інтернет-пошук”. Освітній веб-квест – це сайт (розміщений в локальній мережі або в Інтернеті), з яким працюють учні, виконуючи те або інше навчальне (творче) завдання. Веб-квест – це проблемне завдання з елементами рольової гри. Мета залучення учнів до роботи у веб-квесті – організація грамотної пошукової діяльності учнів в Інтернеті для виконання навчального проекту.

Результатом роботи з веб-квестом є певний продукт: сценарій, пам’ятка, газета, буклет  тощо. Описати хід своєї роботи над проектом та викласти свої висновки учні можуть на веб-сторінці (розміщеній в локальній мережі або в Інтернеті) або у вигляді презентації.

Веб-квест має певну структуру:

Вступ включає: чіткий опис актуальності теми проекту, коротке формулювання навчального (творчого) завдання та підзавдань, перелік ролей учасників, попередній план роботи, огляд всього квеста.

Навчальне (творче) завдання: детальний опис завдання, яке має бути  зрозуміле, цікаве і посильне. Чітко визначений підсумковий результат самостійної роботи (наприклад, задана серія питань, на які потрібно знайти відповіді, прописана проблема, яку потрібно вирішити, визначена позиція, яка повинна бути захищена, і вказана інша діяльність, яка спрямована на переробку і представлення результатів, виходячи із зібраної інформації).

Ресурси: список інформаційних ресурсів – посилання та адреси веб-сайтів по темі, необхідні для виконання завдання. Цей список повинен бути анотованим.

Процес роботи: опис процедури роботи, яку необхідно виконати кожному учаснику квеста при самостійному виконанні завдання.

Оцінювання: опис критеріїв і параметрів оцінки веб-квеста. Критерії оцінки залежать від типу навчальних завдань, які вирішуються у веб-квесті.

Висновок: розділ, де підсумовується досвід, який буде отриманий учасниками при виконанні самостійної роботи над веб-квестом.

Учасникам вищезгаданого методичного об’єднання було запропоновано розробити веб-квест на такі теми:

• «Версаль і математика» – геометрія, 11 клас, «Площа криволійної трапеції».
• «Подорож по Україні » – алгебра, 8 клас, «Завдання на рух».
• «Щасливий лотерейний квиток» – алгебра, 9 клас, «Теорія імовірності».

Кожна група визначала по даним темам основні проблеми, ролі, які можна запропонувати учням, та завдання кожній такій групі учнів, складала анотований список Інтернет-ресурсів до веб-квесту.

Наступний метод, який заслуговує на увагу і може бути з успіхом використаний на уроках узагальнення та систематизації є «Метод РОФТ». Цей метод (назва якого є абрівіатурою слів: роль, отримувач, форма, тема) являє собою письмову діяльність, яка складається з чотирьох кроків:

Крок 1. Учням даються ролі, які пов’язані зі змістом уроку, поняттям або математичним терміном. Учні можуть писати індивідуально, у парах чи малих групах. Наприклад, учням пропонується роль «прямокутного трикутника».

Крок 2. Учні обирають отримаувача – того, до кого вищезазначений об’єкт, або суб’єкт буде звертатися (наприклад, учні класу).

Крок 3. Учні обирають форму, яка відповідає їхній ролі, отримувачу й темі (лист, звернення, оголошення, заява тощо)

Крок 4. Учні пишуть повідомлення для отримувача від імені обраного об’єкта або суб’єкта, в якому передають проблеми, що «турбують» його (вірне розв’зування прямокутних трикутників – що для цього слід знати? як це вірно робити? які наслідки допущених помилок?).

Для зручної роботи за цим методом учням пропонується заповнити таблицю:

Роль (від кого йде певна інформація?)	Отримувач (хто отримує?)	Формат (у якій формі?)	Тема (про що це?)

 

Ось яку цікаву заяву від імені Квадратичної функції для учнів класу написали вчителі математики, після того як познайомилися з «Методом  РОФТ»:

Учням 8 класу

Квадратичної функції

ЗАЯВА

Я, функція виду y=ax² +bx+c,  де  х – аргумент і а ≠ 0, називаюся квадратичною, а – перший коефіцієнт,      b – другий коефіцієнт, с – вільний. Виходячи з того, що застосування моє  надзвичайно широке (мене використовують під час розв’язування задач на знаходження невідомих, в задачах  на швидкість, в задачах на знаходження площі), дуже прошу вас, шановні восьмикласники, не забувати про мої властивості та правила побудови мого графіка:

1. Необхідно знайти розміщення вершини параболи точку А(m;n);
2. Необхідно з’ясувати вгору чи вниз будуть направлені вітки параболи;
3. Необхідно знайти нулі функції, тобто де графік функції буде перетинатись з віссю абсцис 0х.
4. Необхідно з’ясувати де в Декартові системі координат я буду набувати додатних (+) і від’ємних (–) значень.

І т.д. …

І, нарешті, простий, але дуже ефективний для узагальнення та систематизації знань метод – Асоціативний кущ (Гронування). Учням пропонується одне слово (поняття, термін), а вони мають згадати все, що виникає в пам’яті стосовно цього слова. Спочатку виникають найстійкіші асоціації, потім другорядні. Вчитель або учень фіксують відповіді у вигляді своєрідного «куща», який поступово зростає.    Отже, на дошці перед очима дітей виникає за їхніми відповідями цікавий «кущ», на «гілках» якого знаходяться відомості про це слово.

Під час проведення методичного об’єднання вчителі склали такі  асоціативні кущі:

• до слова розв’язок: рівняння, приклад, задача, проблема, раціональний, еврика, логіка;
• до слова задача: проблема, розв’язування, логіка, алгебра, геометрія, послідовність, відповідь;
• до слова фігура: геометрична, площа, коло, квадрат, прямокутник, трикутник, трапеція, площина, простір, побудувати;
• до слова рівняння: алгебраїчне, квадратне, диференційне, повне, не повне, невідоме, корені, розв’язування, дискримінант, коефіцієнти, скласти.

Вище наведені нетрадційні методи не вичерпують всіх інновацій, які можна впроваджувати на уроках узагальнення та систематизації знань, але навіть вже їхнє використання урізноманітнить навчально-виховний процес та підвищить ефективність навчання математики.

 

 

 

 

Змішане навчання

 

Змішане навчання може мати різні моделі реалізації. Найбільш доречною
є модель «Перевернутий клас», яка передбачає самостійне опрацювання
навчального матеріалу з подальшим поглибленим вивченням його у класі (на
віддалені). Застосування цієї моделі, у разі необхідності зменшити кількість
фізичних контактів, дозволить учням самостійно ознайомитися з теоретичним
навчальним матеріалом вдома, а в класі (на віддалені) закріпити його
виконанням практичних завдань. Звісно, реалізація такого підходу до навчання
потребує певних навичок самоорганізації і самоосвіти учнів та технічних
засобів навчання.
Для організації змішаного навчання в цей період пропонуємо
скористатися методичними рекомендаціями, поданими у листах МОН від
23.03.2020 № 1/9-173; від 16.04.2020 № 1/9-213; методичними рекомендаціями
«Організація дистанційного навчання в школі» (авт. А.Лотоцька, А.
Пасічник), розробленими за підтримки МОН (https://cutt.ly/MynTayc)
Організувати змішане навчання з математики можна за допомогою:
поєднання онлайн-занять через Zoom, Skype, Instagram, Google, Hangouts;
заздалегідь записаних відеоуроків, презентацій від вчителів чи із зовнішніх
освітніх ресурсів; ретельно підібраних завдань для самостійної роботи із
подальшою перевіркою; використання безкоштовних вебсерверів та
платформ, наприклад, Google, Classroom, Moodle, Microsoft Teams.
Доцільно застосовувати провідні міжнародні інтерактивні математичні
онлайн-сервіси вільного доступу, зокрема — ресурс
https://www.wolframalpha.com/, вільно-поширюване динамічне геометричне
середовище GeoGebra, яке дає можливість створювати «живі креслення» для
використання в геометрії та алгебрі і має розгалужений інструментарій для
роботи з функціями (побудова графіків, обчислення екстремумів, інтегралів).
Планування й організація уроків онлайн
Плануючи онлайн уроки, варто пам’ятати: «менше означає більше».
Кожна активність онлайн, ймовірно, потребуватиме більше часу, ніж у
звичайному класі. На початку і протягом кожного заняття можуть виникати
невеликі проблеми з підключенням, звуком, камерою, онлайн інструментами.
Заплануйте 2-3 хвилини на початку уроку для того, щоб переконатися, що всі
підключилися, чують і бачать. Передбачте певну кількість часу на
непердбачувані ситуації, як-от: нестійкий інтернет зв’язок, «зависання»
програми тощо.
Оскільки учні звичні до роботи з підручниками, доречно
використовувати їх і під час уроків онлайн. Хоча, очевидно, певні активності
потребуватимуть значної адаптації. Наприклад, можливо, не доцільно
пропонувати учням просто читати підручник або слухати вчителя під час уроку
в ZOOM. Варто застосувати елементи «перевернутого класу», а саме вдома
дати самостійно опрацювати необхідний на наступний урок навчальний
матеріал з подальшим обговоренням та виконанням різноманітних завдань.
Опрацювання завдань щодо формування математичної компетентності
можна здійснювати за допомогою підручників, дошки або PowerPoint. Багато
вчителів також діляться документами Google або файлами Microsoft OneNote, з
якими учні працюють спільно. Маючи посилання, та використовуючи спільний
доступ до екрану, учні можуть бачити доробки один одного. Учні також
можуть писати у зошитах і демонтрувати роботу через камеру. Учителі також
можуть використовувати традиційні засоби навчання, як-от картки, показуючи
їх на камеру.
Зворотний зв’язок
Здійснення зворотного зв’язку, зокрема, отримання відповідей, відгуків,
коментарів, може виявитися найскладнішим. Деякі платформи мають функції,
які можуть стати у пригоді. Функція «Піднести руку» допомагає з’ясувати, хто
з учнів готовий відповідати. Учні можуть писати на дошці або анотувати слайд.
Відповідати можна і в чаті.
Щоб уникати ситуацій, коли один учень розмовляє упродовж тривалого
часу, необхідно, насамперед, узгодити певні правила/протоколи спілкування
онлайн.
Функція «Сесійні зали» дозволяє об’єднати учнів у пари або групи та
здійснювати моніторинг виконання завдання кожною окремою парою або
групою.
Допомога учням у навчанні онлайн
Розпочинаючи онлайн навчання, не залучайте учнів одразу до виконання
складних проєктів. Спочатку переконайтеся, що учні вміють користуватися
онлайн інструментами. Сплануйте декілька простих активностей, які мають на
меті познайомитися із роботою платформи. Наприклад,
• Дошка оголошень для спілкування. Дайте учням завдання з читання
«упорядкувати інструкції» щодо публікацій на дошці оголошень, а потім
попросіть їх розмістити свої відповіді на дошці.
• «Сесійні зали». Попросіть учнів зайти у свою групу і разом із партнерами
відповісти на короткий опитувальник «Знайомство» або «Зустріч після довгої
перерви».
• Електронна пошта для спілкування. Почніть із короткого представлення
або обговорення того, чим ви займалися від моменту останньої зустрічі
дотепер. Переконайтеся, що учні знають про функцію «Відповісти всім».
• Функція «Піднести руку». Проведіть швидку розминку «Піднесіть руку,
якщо ….». Наприклад, «Піднесіть руку, якщо вам подобається кава», «Піднесіть
руку, якщо ви встали до 7 ранку».
Ці завдання мають чіткі мовні цілі, тому учні все ще вмотивовані
виконувати їх. Однак, їх справжній намір – це допомогти учням призвичаїтися
до роботи на онлайн платформі. Якщо з самого початку не переконатися в
тому, що учні опанували онлайн інструменти, це може зашкодити подальшому
навчанню, відволікаючи учнів на технічні питання.
Розвиток упевненості під час роботи в інтернеті
Однією з особливостей онлайн навчання є те, що багато хто почуває себе
впевненіше, висловлюючись онлайн. Ті, хто, зазвичай, соромиться виступати
навіть перед невеликою групою очно, може викласти повідомлення у
соцмережі для всього світу. Але це можна легко зруйнувати, якщо не бути
обережним із зворотним зв’язком. Адже без взаємодії віч-на-віч, без
заохочуючого виразу обличчя, зауваги можуть сприйматися як різка критика.
Тож, будьте гуманними:
• поєднуйте загальну та особисту похвалу; навіть коротке миттєве
повідомлення, на кшталт «Молодці! Справилися із …” може сприяти
підвищенню впевненості;
• уникайте негайних виправлень публічно, це можна зробити у приватних
повідомленнях;
• заохочуйте взаємодію на дошці оголошень, ставлячи завдання, які
потребують публікацій на дошці та відгуків на них;
• узгодьте з учнями етикет щодо спілкування і співпраці онлайн, особливо
щодо взаємовиправлення та взаємооцінювання.
Чіткі інструкції
Необхідність надання чітких інструкцій може здаватися очевидною, але
оскільки здійснювати моніторинг роботи учнів під час онлайн уроків набагато
складніше, чіткі інструкції стають ще важливішими. Інструктуйте учнів не
поспішаючи; переконайтесь, що всі зрозуміли завдання. Обговоріть з учнями
намір активності; за можливості продемонструйте, що треба зробити/наведіть
приклад; надавайте інструкції покроково, за можливості з візуальною
підтримкою; обов’язково перевірте, як учні зрозуміли інструкції. Все це
дозволить уникнути втрати мотивації, яка може виникати від того, що учні
відчувають, що вони витратили час, роблячи щось не так.
Асинхронне навчання
Однією із найпопулярніших нині платформ для змішаного навчання є
Google Classroom/Google Клас. Google Клас уможливлює вчителям швидко
створювати, урізноманітнювати й упорядковувати завдання; встановлювати
зворотний зв’язок; легко спілкуватися з усім класом та з кожним
учнем/ученицею окремо. Всі виконані завдання учнів автоматично
зберігаються на Google Диску, що дозволяє за потреби неодноразово
переглядати їх.
У Google Класі можна працювати з Google Документами, Google Диском,
Gmail, YouTube, завантажувати аудіо та відео матеріали. Вчителі можуть
робити оголошення, ставити запитання, коментувати роботу учнів у реальному
часі, а також відслідковувати виконання завдань, перевіряти та оцінювати
роботу. Учні дізнаються, яку роботу їм потрібно виконати, на сторінці завдань.
Для учнів Google Клас веде облік виконаних та не виконаних завдань, а також
оцінок та коментарів. Нині побутує достатня кількість сервісів обміну
повідомленнями: як-от: WhatsApp, Viber, Messenger тощо. Будь-який з них
можна ефективно використати і для змішаного навчання математики.
Оцінювання навчальних досягнень учнів
Здійснення контролю забезпечує своєчасне корегування навчального
процесу з метою приведення його до рівня, заданого програмою й стандартом,
що окреслюють очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів
Учні з самого початку навчання повинні знати, яких результатів їм
потрібно досягти, і що від них очікують. У цьому полягає й певний стимул до
підвищення якості власних знань і умінь.
Основними видами оцінювання з математики є поточне (не поурочне),
тематичне, семестрове, річне оцінювання та підсумкова державна атестація.
Основною ланкою в системі контролю у закладах загальної середньої
освіти є поточний контроль, що проводиться систематично з метою
встановлення правильності розуміння навчального матеріалу й рівнів його
опанування та здійснення корегування щодо застосовуваних технологій
навчання.
Основна функція поточного контролю – навчальна. Запитання, завдання,
тести спрямовані на закріплення вивченого матеріалу й повторення
пройденого, тому індивідуальні форми доцільно поєднувати із фронтальною
роботою групи.
Тематичне оцінювання проводиться на основі поточного оцінювання.
Окремого оцінювання для виставлення тематичних оцінок не передбачено. Під
час виставлення тематичного балу результати перевірки робочих зошитів не
враховуються.
Важливою ланкою в системі контролю є семестровий контроль, що
проводиться періодично з метою перевірки рівня засвоєння навчального
матеріалу в обсязі навчальних тем, розділів семестру й підтвердження
результатів поточних балів, отриманих учнями раніше. Семестровий контроль
проводиться двічі на рік.
Завдання для проведення семестрового контролю складаються на основі
програми, охоплюють найбільш актуальні розділи й теми вивченого матеріалу,
розробляються вчителем з урахуванням рівня навченості, що дозволяє
реалізувати диференційований підхід до навчання.
Особливості дистанційного оцінювання навчальної діяльності учнів
– використання опитувальників та їх адаптація;
– підготовка розгорнутих запитань на перевірку засвоєння матеріалу;
– забезпечення послідовності у чергуванні викладання матеріалу та
інтерактивного опитування;
– додаткова увага до аспекту самооцінювання учнями власної навчальної
діяльності;
– достатній час на відповіді учнів;
– анонімне опитування учнів (за потреби);
– використання оцінювання як інструменту кращого розуміння процесу
учіння;
– заохочення конструктивної критики (що працює, що не працює) з боку
учнів.
Для складання календарного планування з математики в базовій та
старшій школі слід використовувати чинні нормативні, інструктивні та
програмно-методичні документи МОН України. Варто брати до уваги досвід
провідних українських учителів, відображений у відповідних публікаціях
журналу “Математика в рідній школі”, часописах “Математика”, “Математика в
школах України” тощо.

Збірник самостійних,

контрольних та тестових робіт

з алгебри і початку аналізу

Зміст
Вступ 6
Тема №1 «Функції, їх властивості і графіки» 8
1.1 Дійсні числа. Множини. Відсоткові розрахунки 8
1.2 Область значень, область визначень функції 2
1.3 Графіки функцій, монотонність, парність і непарність функцій 14
1.4 Перетворення графіків функцій 18
1.5 Границя функції в точці 20
Контрольна робота № 1 «Функції, їх властивості і графіки» 22
Тема № 2 «Степенева, показникові та логарифмічні функції» 24
2.1 Степінь з раціональним показником, корінь го степеня та їх властивості 26
2.2 Ірраціональні рівняння, їх системи та системи нерівностей 27
2.3 Показникова функція та її графік 28
2.4 Показникові рівняння та нерівності 30
2.5 Логарифм числа. Логарифмічна функція 31
Контрольна робота №2 «Степенева, показникові та логарифмічна
функції» 32
Тема №3 «Тригонометричні функції» 33
3.1 Тригонометричні функції. Формули зведення 35
3.2 Графіки тригонометричних функцій 37
3.3 Обернені тригонометричні функції 39
3.4 Тригонометричні рівняння 40
3.5 Тригонометричні нерівності 41
Контрольна робота №3 «Тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння» 42
Тема № 4 «Похідна та її застосування» 43
4.1 Похідна, правила диференціювання 44
4.2 Похідна складеної функції 46
4.3 Ознаки сталості, зростання та спадання функції, екстремуми функції, побудова графіка функції 47
Контрольна робота № 4 «Похідна та її застосування» 49
Тема № 5 «Інтеграл та його застосування» 50
5.1 Інтегрування функції лінійного аргументу 51
5.2 Визначений інтеграл. Властивості, методи обчислення 53
5.3 Обчислення площ фігур за допомогою визначеного інтегралу 55
Контрольна робота № 5 «Інтеграл та його застосування» 57
Тема № 6 «Елементи теорії ймовірностей, математичної статистики. Комбінаторика» 58
6.1 Елементи комбінаторики 60
6.2 Основні поняття теорії ймовірностей 62
6.3 Математична статистика. Основні поняття 64
Контрольна робота № 6 «Елементи теорії ймовірностей, математичної статистики. Комбінаторика» 67
Тести 69
Додаток 94
Література 109

Анотація

Матеріали збірника відповідають діючій програмі з математики вищих навчальних закладів І – ІІ рівня акредитації (Лист Інституту інноваційних технологій і змісту освіти від 22.07.2011р. № 1.4/18-2326) для студентів які навчаються на основі базової загальної середньої освіти рівень стандарт.
Дана методична розробка спрямована на допомогу викладачам вищих навчальних закладів І – ІІ рівня акредитації для перевірки знань, вмінь, навичок, дає змогу з’ясувати основні поняття та зв’язки між ними, розширити кругозір студентів з алгебри та початків аналізу.
Робота містить 25 самостійних та тестових робіт з кожної теми, а також 6 контрольних робіт. Всі самостійні, тестові та контрольні роботи мають відповіді.
Методична розробка містить історичні довідки, найважливіший теоретичний матеріал та самостійні, тестові і контрольні роботи з тем: «Функції та їх властивості», «Степенева, показникові та логарифмічні функції», «Тригонометричні функції», «Похідна та її застосування», «Інтеграл та його застосування», «Елементи теорії ймовірностей, математичної статистики. Комбінаторика».

Вступ

«Математика — цариця всіх наук. Її улюблениця — істина, її вбрання — простота і ясність. Палац цієї володарки оточено тернистими заростями, і, щоб досягти його, кожному доводиться пробиратися крізь хащі. Випадковий мандрівник не виявить у палаці нічого привабливого. Краса його відкривається лише розуму, що любить істину і загартований в боротьбі з труднощами, і такому, який свідчить про незвичайну схильність людини до заплутаних, але невичерпних і піднесених розумових насолод.»
Ян Снядецький
Вивчення математики сприяє формуванню певної системи знань, навичок і вмінь, які мають служити не лише основою для успішної праці в конкретній галузі виробництва, а й забезпечити майбутньому працівникові можливості для самостійного поглибленого вивчення теоретичних питань, пов’язаних із освоєнням нової техніки і технології.
У практичній діяльності сучасного працівника все більшого значення набувають елементи розумової праці при одночасному підвищенні вимог до швидкісних і точнісних характеристик діяльності. Вивчення математики сприяє формуванню у студентів саме цих здібностей.
При вивченні розділу математики «Алгебра та початки аналізу» студенти поширять та поглиблять свої знання з алгебри, опановують матеріал кількох галузей математичної науки. Поряд із розв’язуванням знайомих задач буде розглянуто нові види функцій: степеневі, тригонометричні; також принципово нова частина курсу – початки аналізу: показникові та логарифмічна функції, похідна, інтеграл, комбінаторика, статистика, теорія імовірності.
Розв’язуючи задачі, студенти навчаються логічно мислити, обґрунтовувати кожне своє твердження, не сприймати на віру те, що на перший погляд є очевидним. А саме це і є ознаками розумового розвитку.
Своєчасний контроль знань студентів не тільки прияє поглибленню і закріпленню знань та виробленню практичних навичок у студентів, але і дозволяє виявити рівень знань кожного з них, щоб підходити до них диференційовано, та при необхідності вчасно надати допомогу для якісного засвоєння матеріалу.
Проведення самостійних, тестових та контрольних робіт на заняттях математики має велике значення: виховує почуття відповідальності за якість засвоєння навчального матеріалу, наполегливість у досягненні мети, свідоме ставлення до навчання в закладі, до засвоєння загальноосвітніх, а потім і спеціальних дисциплін.
Підручники та посібники з математики містять багато завдань і задач з різних тем, але їх буває багато, або зовсім мало, тому дана методична розробка має за мету ліквідувати «задачний дефіцит».
Методична розробка розділена на шість частин, шість тем: №1 «Функції та їх властивості», №2 «Степенева, показникові та логарифмічні функції», №3 «Тригонометричні функції», №4 «Похідна та її застосування», №5 «Інтеграл та його застосування», №6 «Елементи теорії ймовірностей, математичної статистики. Комбінаторика». В кожній темі представлені основні підтеми, які вивчаються в кожному розділі, отже допомагають якнайглибше перевірити знання, вміння та навички студентів при вивченні даних тем.
Усі завдання підібрані так, щоб студент середньої успішності зміг впоратись із завданням. Загальна кількість завдань охоплює матеріал по всім основним питанням програми з математики, а саме з алгебри та початків аналізу.
Методична розробка також містить підсумкові контрольні роботи наприкінці тем, розроблених на основі основних понять, вивчених на протязі теми. Деякі самостійні роботи розраховані на декілька хвилин, що допоможе викладачу зберегти час при вивченні нової теми та перевірити знання студентів із попередньої.
Можна запропонувати викладачам давати слабшим студентам самостійні роботи із теоретичним матеріалом перед ними, що допоможе пригадати вивчені поняття та формули і отримати більший бал.
Самостійні та контрольні роботи розроблені по 12 – бальній системі. Можна використовувати при вивченні математики 238 годин, 227 годин, 210 годин.
При складанні самостійних, тестових та контрольних робіт були використані підручники, посібники, збірники та методичні рекомендації, рекомендовані для вищих навчальних закладів І – ІІ акредитації.

Тема №1 «Функції, їх властивості і графіки»
«Все на світі – числа.»
Піфагор
1.1 Дійсні числа. Множини. Відсоткові розрахунки.
Історична довідка.
• Число — це найважливіше математичне поняття. Натуральні числа, які використовують для лічби в практичній діяльності, з’явилися на самих ранніх етапах розвитку людської цивілізації. Спочатку поняття абстрактного числа було відсутня — число було «прив’язане» до тих предметів, які перераховували, і в мові первісних народів існували різні словесні обороти для позначення одного і того ж числа різних предметів.
• Абстрактне поняття натурального числа (тобто числа, не пов’язаного з перерахунком конкретних предметів) з’являється і закріплюється разом з розвитком писемності і введенням для позначення чисел певних символів. Поява дробових (додатних раціональних) чисел було пов’язано з необхідністю провести вимірювання, тобто процедуру, в якій будь-яка величина порівнюється з іншою величиною того ж роду, що вибирається в якості еталона (одиниці виміру). Але так як одиниця виміру не завжди вкладалася цілу кількість разів у вимірювану величину, і знехтувати цією обставиною в ряді випадків було не можна, то виникла практична потреба запровадити більш «дрібні» числа, ніж натуральні. Це і було джерелом виникнення найбільш «простих» дробів, таких, як половина, третина, чверть і т. д. Подальший розвиток поняття числа був обумовлений вже не тільки безпосередньою практичною діяльністю людини, а й став наслідком розвитку математики.
• Введення від’ємних чисел було викликано розвитком алгебри як науки, що дає загальні способи рішення арифметичних завдань незалежно від їхнього конкретного змісту і вихідних числових даних. Від’ємні числа систематично вживалися індійськими математиками ще у VI-XI століттях. У європейській науці від’ємні числа остаточно ввійшли у вжиток лише після робіт Р. Декарта в XVII столітті, який дав їх геометричне тлумачення. Подальше розширення поняття числа відбулося в XVII столітті в період зародження сучасної математики, коли виникла необхідність ввести чітке визначення поняття числа. Таке визначення було дано одним з основоположників математичного аналізу І. Ньютоном у «Загальній арифметиці»: «Під числом ми розуміємо не стільки безліч одиниць, скільки абстрактне відношення якоїсь величини до іншої величини того ж роду, прийнятої нами за одиницю». Це формулювання дає єдине визначення дійсного числа, як раціонального, так і ірраціонального. (Про існування несумірних відрізків, відношення яких є число ірраціональне, було відомо ще вченим Стародавньої Греції.) Надалі, у 70-х роках XIX століття сувора теорія дійсного числа була розвинена в роботах Р. Дедекінда, Г. Кантора та К. Вейєрштрасса.

Знати математику – це на самперед уміти користуватися нею. Учитися користуватися математичними знаннями найкраще під час розв’язування задач.
Важливу роль у математиці відіграють числа.
Найпростіші з них – натуральні числа 1, 2, 3, 4, 5, …, які використовують під час лічби. Вони були відомі ще в доісторичні часи. Зрозуміло, що називали і записували їх раніше не так, як тепер. Не слід ототожнювати числа із цифрами. Цифри – це значки, якими позначають числа. Натуральних чисел існує безліч, а цифр – тільки десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такі цифри називають арабськими або індійськими.
Називають і позначають великі числа:
мільярд – 1 000 000 000 = 109;
трильйон – 1 000 000 000 000 = 1012;
квад рильйон – 1 000 000 000 000 000 = 1015;
квінтильйон – 1 000 000 000 000 000 000 = 1018.
Крім натуральних, відомі також числа цілі, раціональні, дійсні та інші. Множина цілих чисел містить усі натуральні числа, усі протилежні їм числа і 0, тобто це числа …, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … .
Цілі числа разом з дробовими утворюють множину раціоналних чисел. Раціональним називають кожне число, яке можна подати у вигляді дробу , де m – число ціле, а n – натуральне. Кожне раціональне число можна записати у вигляді скінченного або нескінченного періодичного десяткового дробу.
Числа, які зображаються нескінченими неперіодичними десятковими дробами, називають ірраціональними. Ірраціональний – значить нераціональний.
– натуральні числа (1,2,3,,,,,,)
– цілі числа (0,±1,±2,,,)
– раціональні числа (цілі і дробові, + і – ), що можна подати у вигляді нескоротного дробу ( – ціле, – натуральне, нескінченого періодичного дробу)
– ірраціональні числа – , нескінчений неперіодичний дріб.
Раціональні та ірраціональні числа утворюють ДІЙСНІ ЧИСЛА.
Також існує 4 математичні дії з дійсними числами: додавання, віднімання, множення та ділення.
Множини складаються із «математичних об’єктів» – чисел, геометричних фігур тощо. Множина – будь-яка сукупність.
Об’єкти, що входять до множини називаються її елементами.
Якщо – об’єкт множини М, то пишуть обо навпаки .
Множини часто записують за допомогою фігурних дужок: – множина цифр 1,2,3,5,8.
Існують скінчені та нескінчені множини (має нескінчену кількість елементів: ).
Дві множини рівні, якщо вони складаються із однакових елементів або не мають жодного – пуста множина (ø).
Операції над множинами:
1) А є підмножиною множини В:
2) Множини А і В містять спільні елементи, Р – переріз множин:

3) Множини, що містять кожен елемент множини А і В – об’єднання
множин, множина К:
4) Різниця множин А і В – такі елементи множини А, які не містить
множина В: .
Відсоткові розрахунки.
Багатьом фахівцям часто доводиться виконувати обчислення за умови, якщо деякі значення виражено у відсотках. Коротко їх називають відсотковими розрахунками.
Нагадаємо, що відсоток – це сота частина.
1 % = 0,01, 10 % = 0,1, 100 % = 1.
Відсотки часто називають процентами, а замість «скільки відсотків» іноді кажуть «який відсоток».
Існує чотири основні види задач на знаходження відсотків:
– знаходження відсотків від числа;
– знаходження числа за відсотками;
– знаходження відсоткового відношення двох чисел.
– прості та складені відсотки.
Основні задачі на відсотки:
1) Знаходження відсотка від числа
від числа дорівнює:
2) Знаходження числа за його відсотком
якщо від числа дорівнює , то це число дорівнює:

3) Знаходження відсоткового відношення двох чисел
Число становить від числа
Будь – яку з цих задач можна розв‘язати за допомогою пропорцій.
При розв‘язуванні задач на нарахування відсотків на грошові вклади слід пам’ятати, що існують дві різні схеми нарахування відсотків:
1. Прості відсотки: при нарахуванні відсотків на кожному наступному кроці починаються з початкового значення величини.
2. Складені відсотки: при нарахуванні відсотків на кожну наступному кроці починають з величини, отриманої на попередньому кроці.
Нехай – початковий вклад на рахунок (капітал)
– річний внесок (приріст капіталу)
– кількість повних років (місяців, тижнів, і т.д.)
– сума вкладу на рахунку через років (нарощений капітал)
– відбулося щорічне збільшення на
– відбулося щорічне зменшення на

Самостійна робота №1 «Дійсні числа. Відсоткові розрахунки»
Варіант І Варіант ІІ
1. Знайдіть значення виразу при заданих значеннях змінних
а) ,
б)
2. Знайдіть :
1) 2)
3) 4)
3. Розв‘яжіть задачі (знайдіть)
а) 20% від числа 35;
б) число, 35% якого дорівнює 70.
в) Вкладник поклав у банк 5000грн
під 8% річних. Який прибуток він
отримає через 2 роки?
г) У першому бідоні масова частка
жиру молока 3%, в другому вершки –
18% жирності. Скільки треба молока і
вершків, щоб отримати 10кг молока масовою часткою жиру 6% ? 1. Знайдіть значення виразу при заданих значеннях змінних
а) ,
б)
2. Знайдіть :
1) 2)
3) 4)
3. Розв‘яжіть задачі (знайдіть)
а) 25% від числа 40
б) число, 40 % якого дорівнює 80.
в) Вкладник поклав у банк 1000грн
під 7% річних. Який прибуток він
отримає через 3 роки?
г) Два водно-сольові розчини. Перший
розчин містить 25% , другий – 40% солі. Скільки треба кг перш. і друг. розчинів, щоб отримати розчин масою 50кг, що містить 34% солі?

Відповіді до самостійної роботи №1
№ завд. Варіант І Варіант ІІ
1. Знайдіть значення виразу при заданих значеннях змінних:
а)
-7,5
б) 10
2. Знайдіть:
1)

2)

3)

4)

3. Розв‘яжіть задачі (знайдіть):
а) 7 10
б) 200 200
в) Загальна сума: 5832 грн, прибуток: 835 грн Загальна сума: 1225,043,
прибуток: 225,043 грн
г) 2 кг вершків і 8 кг молока І розчин – 20 кг, ІІ розчин – 30 кг

1.2 Область значень, визначень функції
Історична довідка.
• Функція – одне з основних математичних і загальнонаукових понять. Воно зіграло й понині відіграє більшу роль у пізнанні реального миру. Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами.
• У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис. років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2.
• Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції – теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.
• Починаючи лише з 17 століття, у зв’язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих – останніми буквами латинського алфавіту – x, y, z, відомих – початковими буквами того ж алфавіту – a, b, c, … і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з’явилася можливість записувати загальні формули. Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з’являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат.
• Приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності. У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році.

Залежність змінної y від змінної x називається функцією, якщо кожному значенню x відповідає єдине значення y. Функція (залежна змінна) – , аргумент (назалежна змінна) – .
Усі значення, які може набувати аргумент функції, називають областю визначення даної функції і позначають .
Множину всіх значень у, яких може набувати функція, називають її областю значень і позначають літерою Е. (збігається з множиною тих значень а, при яких рівняння f(x) = a має розв ‘язки )
Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо немає додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданої формулою, вважають множину всіх значень змінної, при яких ця формула має зміст.
Функцію можна задати не тільки за допомогою формули, а й за допо-могою таблиці, графіка чи словесного опису.

Самостійна робота №2 «Область значень, визначень функції»
Варіант І
1. Дано функцію
Знайдіть
2. Знайдіть область визначення функції
1) 2) 3)
4)
3. Знайдіть область значень функції
1) 2)
3)
4)
Варіант ІІ
1. Дано функцію

Знайдіть
2. Знайдіть область визначення функції
1) 2) 3)
4)
3. Знайдіть область значень функції
1) 2)
3)
4)

Відповіді до самостійної роботи №2
№ завд. Варіант І Варіант ІІ
1. Дано функцію, знайдіть:

2. Знайдіть область визначення функції:
1)

2)

3)

4)

3. Знайдіть область значень функції:
1)

2)

3)

4)

1.3 Графіки функцій. Монотонність, парність, непарність функцій
Історична довідка.
• Дослідження загальних залежностей почалося в 14 столітті. Середньовічна наука була схоластичною (мистецтво коментувати і систематизувати). Для доказу своєї правоти вчені вдалися чи не до досвіду, а до цитат з Аристотеля і Платона або до посилань на біблійні оповіді. При такому характері “наукових дискусій” не залишалося місця вивченню кількісних залежностей, йшлося лише про якості предметів та їх зв’язках один з одним. Але серед схоластів виникла школа, що стверджувала, що якості можуть бути більш або менш інтенсивними (плаття людини, який звалився в річку, мокріша, ніж у того, хто лише потрапив під дощ).
• Французький вчений Микола Оресм став зображати інтенсивність довжинами відрізків. Коли він мав у своєму розпорядженні ці відрізки перпендикулярно деякої прямої, їх кінці утворювали лінію, названу ним “лінією інтенсивностей” або “лінією верхнього краю”. Відразу впізнаємо в ній графік відповідної функціональної залежності. Оресм вивчав навіть “площинні” і “тілесні” якості, тобто функції, залежні від двох або трьох змінних. Важливим досягненням Оресма була спроба класифікувати отримані графіки. Він виділив три типи якостей: рівномірні (з постійною інтенсивністю), рівномірно-нерівномірні (з постійною швидкістю зміни інтенсивності) і нерівномірно-нерівномірні (всі інші), а також характерні властивості графіків таких якостей. Ідеї Оресма на багато обігнали тодішній рівень науки. Щоб розвивати їх далі, потрібно було вміти висловлювати залежності між величинами не тільки графічно, але і за допомогою формул, а буквеній, алгебри в той час не існувало. Лише після того, як протягом 16 століття була поступово створена буквена алгебра, вдалося зробити наступний крок у розвитку поняття функції.
• Щоб створити математичний апарат для вивчення графіків функцій, знадобилося поняття змінної величини. Це поняття було введено в науку французьким філософом і математиком Рене Декартом (1596-1650). Саме Декарт прийшов до ідей про єдність алгебри і геометрії і про роль змінних величин, він зруйнував прірву, що лежала з часів давньогрецької математики, між геометрією і арифметикою. Щоб звільнити алгебру від невластивого їй геометричного мови, Декарт ввів фіксований одиничний відрізок і став розглядати відносини інших відрізків до нього. При записи залежностей між величинами Декарт став застосовувати літери. При цьому операціями над величинами відповідали операції над буквами.
• Тепер уже для перетворення однієї залежності в іншу не треба було писати громіздких пропорцій, вивчати подібні трикутники і перетворювати геометричні фігури. Досить було по твердо, встановленим правилам робити алгебраїчні перетворення, причому всі ці перетворення проводилися загалом, вигляді.
• Таким чином, графіки функцій за весь час свого існування пройшли через ряд фундаментальних перетворень, що привели їх до того виду, до якого ми звикли. Кожен етап або щабель розвитку графіків функцій – невід’ємна частина історії сучасної алгебри та геометрії.

Графіком функції y = f(x) називається множина всіх точок координатної площини (x, f(x)), у яких абсциси належать області визначення функції, а координати дорівнюють відповідним значенням функції.
Важ¬ливими характеристиками функцій є їх зростання та спадання (монотонність).
Функція f (x) називається зростаючою на множині Р, якщо біль¬шому значенню аргументу із цієї множини відповідає більше зна¬чення функції, тобто для будь-яких двох значень x1 і x2 з множини Р, якщо x2 > x1, то f (x2) > f (x1).
Функція f (x) називається спадною на множині Р, якщо більшо¬му значенню аргументу із цієї множини відповідає менше значення функції,тобто для будь-яких двох значень x1 і x2 з множини Р, якщо x2 > x1, то f x2) < f (x1).
Функція, тільки зростаюча або тільки спадна на даному числовому проміжку, називається монотонною на цьому проміжку.
Парні і непарні функції.
Функція f(х) називається парною, якщо для будь-якого x з її області визначення виконуються рівність f(–x) = f(x), графік парної функції розміщений симетрично відносно осі Oy.
Функція f(х) називається непарною, якщо для будь-якого x з її області визначення f (–x) = –f (x), графік непарної функції розміщений симетрично відносно початку координат.

Самостійна робота №3 «Графіки функцій. Монотонність, парність, непарність функцій»
Варіант І
1. Побудуйте графіки функцій, знайдіть проміжки монотонності, парна чи непарна функція
1) 2) 3)
4) 5)
2. Побудуйте графіки функцій, знайдіть проміжки монотонності

Варіант ІІ
1. Побудуйте графіки функцій, знайдіть проміжки монотонності, парна чи непарна функція
1) 2) 3)
4) 5)
2. Побудуйте графіки функцій, знайдіть проміжки монотонності

Відповіді до самостійної роботи №3

Варіант І

№1

Функція Проміжки монотонності Перевірка на парність чи непарність
1)

Не парна ні непарна
2)
постійна Парна
3)

Непарна
4)

Не парна ні непарна
5)

Не парна ні непарна

№2

Проміжки монотонності

Варіант ІІ

Функція Проміжки монотонності Перевірка на парність чи непарність
1)

Не парна ні непарна
2)
постійна постійна
3)

Непарна
4)

Не парна ні непарна
5)

Не парна ні непарна
№2

Проміжки монотонності

1.4 Перетворення графіків функції

Формула залежності Перетворення

Симетрія відносно осі ОХ

Симетрія відносно осі ОУ

Паралельне перенесення графіка функції уздовж осі ОХ на а одиниць

Паралельне перенесення вздовж осі ОУ на
с одиниць

( )
Розтяг або стиск уздовж осі ОУ
( – розтяг, при – стиск)

Розтяг або стиск уздовж осі Ох ( – стиск, при – розтяг)

Вище осі Ох (і на самій осі) – без зміни, нижче осі Ох – симетрія відносно осі Ох

Вище осі Оу (і на самій осі) – без зміни, і та сама частина графіка – симетрія відносно осі Оу

Тестова робота №4 «Перетворення графіків функції»
Варіант І
Дано функції:
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
Варіант ІІ
Дано функції:
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
Серед наведених функцій виберіть такі, графік яких утворюється з графіка функції шляхом виконання:
1) паралельного перенесення графіка функції на 2 одиниці ліворуч уздовж осі абсцис:
А) 1; Б) 9; В) 11; Г) 10.
2) Паралельного перенесення графіка функції на 2 одиниці вниз вздовж осі ординат:
А) 1; Б) 9; В) 11; Г) 10.
3) Розтягування графіка функції у 2 рази вздовж осі абсцис:
А) 4; Б) 5; В) 7; Г) 8.

4) Стискування графіка функції у 2 рази вздовж осі ординат:
А) 5; Б) 4; В) 8; Г) 7.

5) симетрії графіка функції відносно осі ординат:
А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 12.
6) Симетрії графіка функції відносно осі абсцис:
А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 12.
Серед наведених функцій виберіть такі, графік яких утворюється з графіка функції шляхом виконання:
1) паралельного перенесення графіка функції на 3 одиниці ліворуч уздовж осі абсцис:
А) 1; Б) 9; В) 11; Г) 10.
2) Паралельного перенесення графіка функції на 3 одиниці вгору вздовж осі ординат:
А) 1; Б) 9; В) 11; Г) 10.
3) Стискування графіка функції у 3 рази вздовж осі абсцис:
А) 4; Б) 5; В) 7; Г) 8.

4) Розтягування графіка функції у 3 рази вздовж осі ординат:
А) 4; Б) 5; В) 7; Г) 8.

5) симетрії графіка функції відносно осі абсцис:
А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 12.
6) Симетрії графіка функції відносно осі ординат:
А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 12.

Відповіді до тестової роботи №4
№ завд. Варіант І Варіант ІІ
1 В Г
2 Б А
3 Г В
4 А А
5 Б В
6 В Б

1.5 Границя функції в точці
Історична довідка.
• Походження поняття границі, на якому ґрунтується весь математичний аналіз і корені якого сягають глибокої давнини, пов’язане з обчисленням площ криволінійних фігур, об’ємів тіл, обмежених кривими поверхнями.
• Ідею границі вперше було використано стародавнім грецьким математиком IV ст. до н.е. Евдоксом Кнідським. Метод Евдокса, який був названий “метод вичерпування”, використовували Квклід, Архімед та інші вчені стародавнього світу.
• Перше означення границі дав у середині XVII ст. англійський математик Джон Вал ліс ( 1616 – 1703 ). Але тоді ще не було чіткого розуміння основних понять, пов’язаних з теорією границь. Зокрема, термін “нескінченно мала” розуміли як вказівку на розмір величини, а не характер її зміни.
• Термін ” границя ” і відповідний символ lim вперше було введено англійським математиком і механіком Ісааком Ньютоном (1643 – 1727).
• Строге означення границі і неперервності функції сформулював у 1823 р. Французький математик Огюстен Луї Коші (1789 – 1857). Означення неперервності функції ще раніше за Коші сформулював чеський математик Бернард Больцано (1781 – 1848). За цим означеннями на базі теорії дійсних чисел було здійснено строге обґрунтування основних положень математичного аналізу.

Число А називається границею функції при , якщо для будь-якого числа можна вказати таке , що для будь-якого х, яке задовольняє нерівність , виконується нерівність . У цьому випадку пишуть .
Функція називається нескінченно малою, якщо . Функція називається нескінченно великою, якщо .
Теореми про границі:
1. Якщо , константа, то .
2.
Нехай існують границі функцій в точці , то
3.
4.
5. , причому
6. Якщо – многочлен, то .
Також потрібно зазначити, що
1) якщо і – константа, то ;
2) якщо і – константа, то ;
3) якщо і , то .

Самостійна робота №5 «Границя функції в точці»

Варіант І

Обчисліть границю:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Варіант ІІ

Обчисліть границю:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Відповіді до самостійної роботи №5
№ завд. Варіант І Варіант ІІ
1 0 0
2

3 – 12 16
4
3
5

6 3

Контрольна робота №1 «Функції, їх властивості і графіки»

Варіант І
1. Знайдіть значення виразу
, якщо
Варіант ІІ
2. Знайдіть значення виразу
, якщо ,

2. Зі свіжих слив виходить 21% сушених. Скільки сушених слив можна отримати із 75кг свіжих?

3. Знайдіть:
а) область визначення функцій:
1) ; 2)
б) множину значень функцій:
1) ; 2)

4. Функція задана графіком. Укажіть:
1) , 2) , 3) проміжки спадання,
4) зростання функції: 2. Із 40 учасників шахового турніру 9 осіб мають звання гросмейстера. Який відсоток учасників турніру становлять гросмейстери?
3. Знайдіть:
а) область визначення функцій
1) ; 2)
б) множину значень функцій:
1) ; 2)

4. Функція задана графіком. Укажіть:
1) , 2) , 3) проміжки спадання,
4) зростання функції

5. Дослідіть на парність та непарність функцію
1) 2) 3)
4)

6. Побудуйте графік функції , користуючись графіком знайдіть:
1) Область визначень функції ( );
2) Область визначень функції ( );
3) Проміжки, коли функція зростає ( );
4) Проміжки, коли функція спадає ( ).

5. Дослідіть на парність та непарність функцію
1) 2) 3)
4)

6. Побудуйте графік функції , користуючись графіком знайдіть:

1) Область визначень функції ( );
2) Область визначень функції ( );
3) Проміжки, коли функція зростає ( );
Проміжки, коли функція спадає ( ).

Відповіді до контрольної роботи №1
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Знайдіть значення виразу

10
2. Розв’яжіть задачу
15,75 кг 22,5%
3. Знайдіть: а)область визначення функцій;
б) множину значень функцій:
а) 1) 2)
1)
2)
б) 1)
2)
1)
2)
4. Функція задана графіком. Укажіть:
1)

2)

3) проміжки спадання функції

4) зростання функції

5. Дослідіть на парність та непарність функцію
1) непарна 2) не парна ні непарна 3) парна 4) непарна 1)не парна ні непарна
2)непарна 3) парна
4) постійна
6. Побудуйте графік функції та дослідіть:

немає

немає

Тема №2 «Степенева, показникові та логарифмічні функції»
«Людина, що не знає математики,
не здатна ні до яких інших наук.»
Роджер Бекон
Історична довідка.
• Історія показникової функції сягає в глибоку давнину. За легендою, індуський цар Шерам, ознайомившись з грою в шахи, був захоплений її дотепністю, розмаїттям можливих позицій. Дізнавшись, що вона придумана одним із його підданих, покликав його, щоб нагородити за вдалу вигадку. Винахідник зажадав за свій винахід зерна. Причому за першу клітинку 1 зерно, за другу – 2, дальше 22, 23 і т.д. Чимало часу витратили на підрахунки, а коли підрахували, то виявилось, що цього зерна вистачило, щоб засіяти всю сушу, та їсти його б довелося мільйон років.
• У XIV—XV ст. у Західній Європі почали з’явля¬тися банки (від фр. вanque — лава, контора) — ус¬танови, які давали гроші в позику. Щоб полегшити розрахунки складних відсотків, використовували таблиці, за якими відразу можна було дізнатися, яку суму тре¬ба виплатити через п років, якщо була взята сума а під p % річних. Сума, яку треба заплатити, виражається формулою показникової функції.
• У романі Жуля Верна „Матіас Шандор” виведено образ силача Матіфу, який здійс¬нив багато подвигів. Ось один із них. Готувався спуск на воду корабля. І саме в цей момент до гавані влетіла яхта, яка неминуче врізалася б у корабель, якби з натовпу не вибіг чоловік, який з усієї сили вперся в землю ногами і вчепився в трос, що утримував корабель, щоб затримати спуск. Поблизу стояла гармата. Сміли¬вець швидко накинув на неї трос і з нелюдським зусиллям утримував його 10 секунд, поки трос не тріснув. Але цих 10 секунд було достатньо, щоб яхта проскочила повз корабель — зіткнення не ста¬лося, сміливий незнайомець — це Матіфу. Дивує питання: «Як людина втримала корабель?». Виявляється, це пояснює фізика. Прикладена сила обчислюється формулою, яка є показниковою функцією. Вона залежить від коефіцієнта жорсткості канату, який обмотують навколо стовпа. Сила тертя між канатом і стовпом утримала судно.
• Натуральне число може дати кількісну характеристику будь-якої скінченної множини. Поняття дробу характеризує будь-яку частину різних величин (довжини, часу, ваги і т. д.). Знайти прообрази ірраціональних чисел поза геометричними (несумірними) величинами математики XV—XVI ст. не вміли. Тому для них ірраціональні числа поза геометрією були символами, позбавленими певного окресленого змісту. Будь-який дріб може бути виражений цілком точно відношенням двох цілих чисел. Навпаки, ірраціональне число не можна точно подати скінченною комбінацією раціональних чисел, пов’язаних чотирма арифметичними діями. Ці факти знали математики XV—XVI ст. і майже завжди використовували як аргумент «неповноцінності» поняття ірраціонального числа. Оскільки існування геометричних несумірних величин не заперечувалось, то числа нового виду називали «глухими», «недійсними», «фіктивними» і т. д.
• Термін «ірраціональний» у математичному розумінні вперше застосовував у XVI ст. англійський математик Томас Брадвардін (бл. 1290—1349). У XV—XVI ст. лише передові одинаки-математики, такі, як німець Штіфель і нідерландець Стевін, виступили на захист рівноправності поняття ірраціонального числа поряд з цілими і дробовими числами. Незважаючи на це ірраціональні числа почали застосовувати разом з від’ємними тільки після появи геометрії Декарта (1637). Отже, до початку XVIII ст. чітко виділилися три тлумачення поняття ірраціонального числа. Так, Ейлер, Ламберт та деякі інші вчені встановили, що нескінченний періодичний дріб завжди є раціональним числом. Тому ірраціональне число — нескінченний неперіодичний дріб.
• Ірраціональні числа деякі автори почали трактувати як межі змінних, що набувають раціональних значень. Остаточно розвинули теорію ірраціональних чисел у другій половині XIX ст. німецькі математики Ю. Дедекінд (1831—1916), Г. Кантор (1845—1918) і К. Вейєрштрасс (1815—1897) у зв’язку з потребами математичного аналізу.
• Історично поняття логарифма розвинулось на основі порівняння арифметичної і геометричної прогресій. Ця ідея зустрічається ще в творі Архімеда «Псамміт» («Про число піщинок»). Вона могла бути зародком майбутньої ідеї логарифма, але пізніше була втрачена. Лише в епоху Відродження вона знову виникає і розвивається в сучасне поняття логарифма.
• У зв’язку з бурхливим розвитком астрономії і мореплавства в XV—XVI ст. виникла потреба вдосконалити обчислювальний апарат, що сприяло винайденню логарифмічних таблиць, які й були складені шотландським математиком Непером (1550—1617), англійським математиком Брігсом (1556—1630) і швейцарським математиком Бюргі (1552—1632). Вони склали ці таблиці незалежно один від одного, що свідчить про велику потребу в них. Обчислювальна робота по складанню перших таблиць логарифмів потребувала дуже великої праці і часу та зайняла десятки років. Тепер, коли є комп’ютери, таку роботу можна виконати в короткий строк.
• Сучасний виклад теорії логарифмів уперше було здійснено славнозвісним петербурзьким математиком Л. Ейлером (1707—1783). Ейлер ввів терміни «основа логарифмів», «мантиса», його теорія логарифмів майже без змін викладена в сучасних підручниках. Термін «характеристика логарифма» був введений у науку Брігсом, а терміни «модуль переходу», «натуральні логарифми» належать математикові М. Меркатору (1620—1687).

2.1 Степінь з раціональним показником, корінь го степеня та їх властивості
Коренем -го степеня з числа називається таке число , -й степінь якого дорівнює . А саме: , якщо .
Область допустимих значень кореня -го степеня: існує при , існує при будь-яких значеннях .
Степінь з раціональним показником: , , причому .
Дійсні властивості степеня ( ):
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)
Основні формули кореня го степеня :
1) ; 2) ; 3) ; 4) або ;
5) або ; 6) або ;
7) або .

Самостійна робота №6
«Степінь з раціональним показником, корінь го степеня та їх властивості»
Варіант І
1. Знайдіть область визначення функції:
1) 2)
2. Обчисліть
1)
2)
3. Подайте степінь з дробовим показником у вигляді кореня:
4. Спростіть вираз
1)
2)
Варіант ІІ
1. Знайдіть область визначення функції:
1) 2)
2. Обчисліть
1)
2)
3. Подайте степінь з дробовим показником у вигляді кореня:
4. Спростіть вираз
1)
2)

Відповіді до самостійної роботи №6
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Знайдіть область визначення функції
1) 2)
1) 2)
2. Обчисліть
1) 4,6 2) -2 1) 7 2) -18
3. Подайте степінь з дробовим показником у вигляді кореня

4. Спростіть вираз
1) 2)
1) 2) -4

2.2 Ірраціональні рівняння, їх системи та системи нерівностей
Ірраціональним називається рівняння, в якому змінна знаходиться під знаком кореня. При розв’язуванні задач зазвичай ірраціональні рівняння зводяться до раціональних за допомогою деяких перетворень.
При розв’язування ірраціональних рівнянь, їх систем та нерівностей необхідно враховувати область визначення функції.

Методи розв’язування ірраціональних рівнянь, систем та нерівностей:
1. Спосіб піднесення обох чистин рівняння до степеня кореня.
2. Спосіб заміни змінної іншою буквою (метод заміни).

При розв’язуванні ірраціональних нерівностей необхідно врахувати зведення їх до систем або сукупностей систем раціональних нерівностей для коренів парних степенів:
1) нерівність рівносильна системі

2) нерівність рівносильна сукупності систем

Самостійна робота №7
«Ірраціональні рівняння, їх системи та системи нерівностей»
Варіант І
1. Розв’яжіть ірраціональні рівняння
1) 2)
2. Розв’яжіть систему рівнянь
Варіант І
1. Розв’яжіть ірраціональні рівняння
1) 2)
2. Розв’яжіть систему рівнянь
3. Розв’яжіть нерівності
1)
2)
3. Розв’яжіть нерівності
1)
2)

Відповіді до самостійної роботи №7
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Розв’яжіть ірраціональні рівняння
1) 2)
1) 2)
2. Розв’яжіть систему рівнянь

3. Розв’яжіть нерівності
1)
2)
1)
2)

2.3 Показникова функція та її графік
Показниковою називається функція виду , де і .

Графіки:

Властивості:
Спільні Різні
1.
2.
3. Точки перетину з осями координат:
немає
4. Функція не парна ані непарна Якщо , то функція спадна, якщо – спадна на всій області визначення.

Самостійна робота №8
«Показникові функції та її графіки»
Варіант І
1. Порівняйте значення виразів
1) 2)

2. Порівняйте показники і , якщо
1) 2)
3. Порівняйте з 1 основу , якщо відомо, що є правильною рівність
1) 2)
4. Побудуйте графік показникової функції

Варіант ІI
1. Порівняйте значення виразів
1) 2)

2. Порівняйте показники і , якщо
1) 2)
3. Порівняйте з 1 основу , якщо відомо, що є правильною рівність
1) 2)
4. Побудуйте графік показникової функції

Відповіді до самостійної роботи №8
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Порівняйте значення виразів
1) 2)
1) 2)
2. Порівняйте показники і
1) 2)
1) 2)
3. Порівняйте з 1 основу , якщо відомо, що є правильною рівність
1) 2)
1) 2)
4. Побудуйте графік показникової функції

2.4 Показникові рівняння та нерівності
Найпростіші показникові рівняння, схема рівносильних перетворень:
При і маємо .
Зведення деяких показникових рівнянь до найпростіших:
1) Якщо в лівій і правій частинах показникового рівняння стоять тільки добутки, частки, корені або степені, то доцільно за допомогою основних формул спробувати записати обидві частини рівняння як степені з однією основою.
2) Якщо в одній частині показникового рівняння стоїть число, а в іншій всі члени містять вираз виду , то зручно в цій частині рівняння винести за дужки найменший степінь .
Показникові рівняння, що відрізняються від найпростіших розв’язуються методом заміни змінної на нову букву, зведення до однієї основи.
Схема рівносильних перетворень найпростіших показникових нерівностей:
1) Якщо , то .
2) Якщо , то .
Для розв’язування показникових нерівностей, що відрізняються від найпростіших використовують методи розв’язування показникових рівнянь з врахуванням степеня основи (рівносильних перетворень найпростіших показникових нерівностей).

Самостійна робота №9
«Показникові рівняння та нерівності»
Варіант І
1. Розв’яжіть рівняння
1)
2)
Варіант ІІ
1. Розв’яжіть рівняння
1)
2)
2. Розв’яжіть нерівність
1)
2)
2. Розв’яжіть нерівність
1)
2)

Відповіді до самостійної роботи №9
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Розв’яжіть рівняння
1) 2)
1) 2)
2. Розв’яжіть нерівність
1) 2)
1) 2)

2.5 Логарифм числа. Логарифмічна функція.
Логарифмом додатного числа за основою ( і ) називається показник степеня, до якого потрібно піднести , щоб одержати .
(якщо , то )

Графік логарифмічної функції:

, a > 1, x > 0

, 0 < a < 1, x > 0

Властивості логарифмів :
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) Якщо , то .

Самостійна робота №10
«Логарифм числа, логарифмічна функція»
Варіант І
1. Прологарифмуйте даний вираз за даною основою, знаючи що
за основою 10.
2. Знайдіть х, якщо:

3. Знайдіть область визначення функції
1)
2)
Варіант ІІ
1. Прологарифмуйте даний вираз за даною основою, знаючи що
за основою 3.
2. Знайдіть х, якщо:

3. Знайдіть область визначення функції
1)
2)

Відповіді до самостійної роботи №10
№ завд. Варіант І Варіант ІІ
1. Прологарифмуйте даний вираз за даною основою, знаючи що

2. Знайдіть х

3. Знайдіть область визначення функції
1)
2)
1)
2)

Контрольна робота №2
«Степенева, показникові та логарифмічна функції»
Варіант І
1. Розв‘яжіть ірраціональне рівняння

2. Знайдіть корені показникового рівняння

3. Розв‘яжіть показникову нерівність

4. Розв‘яжіть логарифмічне рівняння

5. Знайдіть розв‘язки логарифмічної нерівності

Варіант ІІ
1. Розв‘яжіть ірраціональне рівняння

2. Знайдіть корені показникового рівняння

3. Розв‘яжіть показникову нерівність

4. Розв‘яжіть логарифмічне рівняння

5. Знайдіть розв‘язки логарифмічної нерівності

Відповіді до контрольної роботи №2
№ завд. Варіант І Варіант ІІ
1. Розв‘яжіть ірраціональне рівняння

2. Знайдіть корені показникового рівняння

3. Розв‘яжіть показникову нерівність

4. Розв‘яжіть логарифмічне рівняння

5. Знайдіть розв‘язки логарифмічної нерівності

Тема №3 «Тригонометричні функції»
«Якщо ви хочете брати участь у великому житті, то наповнюйте свою голову математикою, поки є для цього можливість. Вона надасть вам потім величезну допомогу у всій вашій роботі.»
М.І. Калінін
Історична довідка.
• Важливою частиною вчення про функції є тригонометричні функції. Тригонометрія виникла і розвивалась в давнину як один з розділів астрономії, як її обчислювальний апарат, що відповідав практичним потребам людей. І саме астрономія визначила той факт, що сферична тригонометрія виникла раніше прямолінійної.
• Для розвитку математики дуже важливими були праці індійських вчених з тригонометрії, хоч великих досягнень в цій галузі в них ще небагато.
• В зв’язку з розквітом астрономії в елліністичних країнах (пізніше провінціях Риму) були досягнуті значні успіхи в розробці як графічних засобів розв’язування її задач, так і обрахунку хорд. В “Аналемі” Птоломея були викладені графічні прийоми побудови для виготовлення сонячного годинника, тобто для встановлення місця положення Сонця в залежності від часу, прийоми, які також можна використовувати для визначення часу доби. В основі побудов лежало ортогональне проектування сфери на три взаємно перпендикулярні площини меридіана, горизонту і вертикального кола. Дуги, які шукались при цьому, будувались по півхордам відомих кіл. В „Аналемі” Птолемея міститься відносно розвинута тригонометрія хорд.
• Індійці спирались на праці елліністичних астрономів, але внесли і багато нового. Очевидно, що на розвиток астрономії в Індії вплинули більш ранні методи, які ввійшли в „Аналему”, і були перетворені тут в систему розрахункових правил. Головною була заміна хорд синусами. Така заміна сама по собі ніби й не помітна, адже хорда дуги r дорівнює подвоєному синусу дуги 2r, тобто відрізняється від синуса лише сталим множником. Але в дійсності перехід від хорди до півхорди мав важливе значення, тому що дозволив природно ввести різні функції, пов’язані зі сторонами і кутами прямокутного трикутника.
• В Індії було покладено початок тригонометрії, як вченню про тригонометричні величини, хоч і було відведено мало уваги саме розв’язанню трикутників. Синус і косинус також першими ввели індійські вчені. В Індії, по суті, і зароджується вчення про тригонометричні величини, яке пізніше було названо гоніометрією (“гоніа” – кут, “метрео” – вимірюю).
• Подальший розвиток вчення про тригонометричні величини отримало в IX-XV століттях у країнах Середнього і Близького Сходу. Ал-Хабаш, Абу-л-Вафа, Ал-Баттані, ал-Біруні та інші вводять нові тригонометричні величини: тангенс, котангенс, секанс, косеканс, встановлюють основні співвідношення між ними, використовують їх під час різних обчислень. Цікавим є той факт, що поняття “тангенс” і “котангенс”, як і перші таблиці цих величин, з’явились не внаслідок розгляду тригонометричного кола, а із вчення про сонячний годинник. Тангенси (від латинського tanger – дотикатися) вперше було введено у десятому столітті, так як і котангенс, секанс і косеканс арабським математиком Абу–л–Вафою. Взагалі тангенси виникли у зв’язку з розв’язуванням задачі на визначення довжини тіні. Абу–л–Вафа першим склав таблиці для знаходження тангенсів і котангенсів. Але ці відкриття європейцям довгий час були невідомі, тому тангенси були наново відкриті в чотирнадцятому столітті спочатку англійським вченим Т. Бравердином, а потім ще й німецьким математиком, астрономом Регіомонтаном (1467 р.).
• Праця Регіомонтана “П’ять книг про трикутники всіх видів”(1462 – 1466), в якій тригонометрія розглядається як самостійний, незалежний від астрономії, розділ математики, була першою у Європі. Зміст курсу тригонометрії складався до початку XVIII століття, але сучасна форма її викладу і загальноприйнята тепер символіка встановились лише з часів Ейлера, тобто в другій половині XVIII століття, зокрема, у 1748 році в його праці “Вступ до аналізу нескінченно малих”. Цей вчений за походженням швейцарець. Він довгий час працював у Росії, був членом Петербурзької академії наук. Він першим увів відомі означення тригонометричних функцій, почав розглядати функції довільного кута, вивів формули зведення. Велика заслуга Ейлера полягає в тому, що він систематизував тригонометрію.
• Термін “тригонометричні функції” ввів німецький математик Г. Клюгель (1739 – 1812), який визначав тригонометричні функції, як відношення сторін трикутника.
• Сучасне позначення arcsin і arctg з’являються в 1772 році в працях віденського математика Шерфера і французького вченого Ж. Л. Лагранжа, але ще раніше дещо розглядав Д. Бернуллі.
• Символи arcsin і arctg стали загальноприйнятими в кінці вісімнадцятого століття (від латинського “арк” – лук, дуга).
• Вперше графік тригонометричної функції, було зображено французьким математиком Ж. П. де Робервалем в кінці 30-х років XVII століття в зв’язку з визначенням площі циклоїди.
• Застосування графіків тригонометричних функцій набуло широкого розповсюдження лише після появи “Геометрії” Декарта і створення аналітичної геометрії. Проте вчені довгий час досліджували тригонометричні функції та будували їх графіки. Лише у 1670 році англійський математик Д. Вал ліс розібрався у питанні про знак синуса у кожному квадранті і побудував у своїй “Механіці” два повні оберти синусоїди, зазначивши, що їх нескінченна кількість.
• Питання про знаки тригонометричних функцій у всіх чотирьох квадрантах вперше було правильно викладено у 1705 році в мемуарах Паризької Академії наук Т. де Ланьї.
• Тригонометрія довгий час розвивалась, як частина геометрії. Можливо тригонометрія розвивалась в зв’язку з потребою в астрономів розв’язувати задачі певного виду (передбачення затемнень). Астрономів цікавили співвідношення між сторонами і кутами сферичних трикутників, складених з великих кругів, що лежать на сфері. Сьогодні тригонометрія розглядається як дисципліна, що вивчає тригонометричні функції та їх застосування. Застосування тригонометричних функцій відіграє важливу роль в геометрії, при вивченні комплексних чисел, при розв’язуванні рівнянь, при вивченні коливальних процесів, при вивченні функцій загального вигляду (наприклад, ряди Фур’є).

3.1 Тригонометричні функції. Формули зведення.
В курсі геометрії відомі означення тригонометричних функцій: синус, косинус, тангенс, котангенс ( ).

Формули зведення:
1. Якщо до числа додається число , то назва заданої функції не змінюється, а якщо додається число , то назва заданої функції змінюється на відповідну (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
2. Знак одержаного виразу визначається знаком початкового виразу, якщо умовно вважати кут гострим.
Періодичність:
1) Функція називається періодичною з періодом , якщо для будь-якого х із області визначення функції числа належать області визначення і виконується рівність .
2) Через проміжки довжиною (на осі ОХ) вид графіка періодичної функції повторюється.
3) Якщо – період функції, то – також періоди цієї функції.
Функції синус і косинус мають період , а тангенс і котангенс мають період .
Косинус – парна функція, всі інші – непарні.

Тестова робота №11
«Тригонометричні функції, формули зведення»
Варіант І
1. Зведіть до тригонометричної функції кута
а) б) в)
г)
Варіант ІІ
1. Зведіть до тригонометричної функції кута
а) б) в)
г)
2. Укажіть найменший додатній період функції
а) б) в)
г)

3. Спростіть вираз
а) б) в)
г)
4. Обчисліть значення виразу
а) -1 б) в)
г)
5. Обчисліть усі невідомі тригонометричні функції кута , якщо ,
2. Укажіть найменший додатній період функції
а) б) в)
г)
3. Спростіть вираз
а) б) 1 в) г)

4. Обчисліть значення виразу
а) б) в)
г)
5. Обчисліть усі невідомі тригонометричні функції кута , якщо ,

Відповіді до тестової роботи №11
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. г в
2. а г
3. б б
4. б б

5.

3.2 Графіки тригонометричних функцій
1. Синусоїда ( ) 2. Косинусоїда ( )

3. Тангенсоїда ( ) 4. Котангенсоїда ( )

Самостійна робота №12
«Перетворення графіків тригонометричних функцій»
Варіант І
Побудуйте графіки вказаних функцій:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
Варіант ІІ
Побудуйте графіки вказаних функцій
1) 2) 3)
4) 5) 6)

Відповіді до самостійної роботи №12
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1)

2)

3)

4)

5)

6)

3.3 Обернені тригонометричні функції
Якщо функція набуває кожного свого значення в єдиній точці її області визначення, то можна задати функцію , яка називається оберненої до функції . Для кожного , якщо , то .
– це таке число з проміжку , синус якого дорівнює .
– це таке число з проміжку , косинус якого дорівнює .
– це таке число з проміжку , тангенс якого дорівнює .
– це таке число з проміжку , котангенс якого дорівнює .

Самостійна робота №13
«Обернені тригонометричні функції»
Варіант І
1. Знайдіть значення виразу
1)
2. Обчисліть
1) 2)
3. Розв’яжіть рівняння
1) 2)
3)
Варіант ІІ
1. Знайдіть значення виразу
1)

2. Обчисліть
1) 2)
3. Розв’яжіть рівняння
1) 2)
3)

Відповіді до самостійної роботи №13
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1.

2. 1) 1 2) 0 1) 2) -1
3. 1) 2)
3)
1) 2)
3)

3.4 Тригонометричні рівняння

Розв’язування тригонометричних рівнянь

Кор. немає

Кор. немає

Особливі випадки:

Особливі випадки:

Особливі випадки:

Особливі випадки:

 

Самостійна робота № 14
«Тригонометричні рівняння»

Варіант І
Розв’яжіть рівняння:
1)
2)
3)
Варіант ІІ
Розв’яжіть рівняння:
1)
2)
3)
Відповіді до самостійної роботи №14
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1.

2.

3.

3.4 Тригонометричні нерівності
Нерівності виду: , , , – найпростіші тригонометричні нерівності, де – дане число. Розв’язати тригонометричну нерівність – знайти множину всіх значень аргументу (дуг або кутів), які перетворюють дану нерівність у правильну числову нерівність.

Самостійна робота № 15
«Найпростіші тригонометричні нерівності»
Варіант І
Розв’яжіть нерівність:
1)
2)
3)
Варіант ІІ
Розв’яжіть нерівність:
1)
2)
3)

Відповіді до самостійної роботи №15
№ завд. Варіант І Варіант ІІ
1.

2.

3.

Контрольна робота № 3
«Тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння»
Варіант І
1. Знайдіть значення виразу

2. Спростіть вираз
1)
2)
3. Спростіть вираз
1) 2)
4. Розв‘яжіть рівняння
1)
2)
3)
Варіант ІІ
1. Знайдіть значення виразу

2. Спростіть вираз
1)
2)
3. Спростіть вираз
1) 2)
4. Розв‘яжіть рівняння
1)
2)
3)

Відповіді до контрольної роботи №3
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Знайдіть значення виразу

2. Спростіть вираз
1) 2)
1) 2)
3. Спростіть вираз
1) 2)
1) 2)
4. Розв‘яжіть рівняння
1)
2)
3)

1)
2)
3)

Тема № 4 «Похідна та її застосування»
«Математика і поезія – це… вираз тієї самої сили уяви, тільки в першому разі уява повернена до голови, а в другому – до серця.»
Т. Хілл
Історична довідка.
• Історія виникнення похідної «Разом навчатися не тільки легше й цікавіше, але й значно ефективніше Є.С.Полат.
• Похідна – одне з фундаментальних понять математики. Відкриттю похідної та основ диференціального числення передували роботи французьких математиків П’єра Ферма (1601-1665), який у 1629 р. запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися на застосування похідних.
• Рене Декарт – французький вчений (1596-1650) Створив основи аналітичної геометрії, ввів поняття змінної величини, розробив метод координат. Здійснив зв’язок алгебри з геометрією. Основні праці – ”Геометрія”, “Міркування про метод”. Декарт вперше сформулював, що всяке алгебраїчне рівняння має стільки коренів, який його степінь. Ввів сучасний запис степенів.
• І. Ньютон. Г.В.Лейбніц – німецький математик (1646 – 1716). Створили основи важливого розділу математики – математичного аналізу. Лейбніц ввів багато понять і символів, які вживаються у математиці і зараз. Ідеї Лейбніца мали значний вплив на розвиток математичної логіки. Ввів терміни ”функція”, ”абсциса”, ”ордината”, знаки множення і ділення (крапку і двокрапку). Ньютон прийшов до поняття похідної, розв’язуючи задачі про миттєву швидкість, а Лейбніц – розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої.
• Термін «похідна» ввів у 1797 р. французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736 – 1813 ). Він ввів і сучасні позначення для похідної у вигляді y’ та f’ . До Лагранжа похідну за пропозицією Лейбніца називали диференціальним коефіцієнтом. Велику роль у розвитку диференціального числення відіграв видатний математик, фізик, механік і астроном Леонард Ейлер, який написав підручник «Диференціальне числення» (1755).
• За допомогою диференціального числення було розв’язано багато задач теоретичної механіки, фізики, астрономії. Зокрема, використовуючи методи диференціального числення, вчені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки XVIII ст. За допомогою цих методів математики у XVIII ст. вивчали властивості різних кривих, знайшли криву, по якій найшвидше падає матеріальна точка, навчилися знаходити кривину ліній. І тепер поняття похідної широко застосовується у різних галузях науки та техніки.

4.1 Похідна, правила диференціювання
Похідною функції в точці х0 називається границя відношення приросту функції в точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

Функція , яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називається диференційованою в цьому проміжку.
Фізичний зміст похідної в заданій точці – швидкість зміни функції в даній точці ( ).

Таблиця похідних:

Формули диференціювання

с – константа, число

с

 

0

 

Самостійна робота № 16
«Похідна, правила диференціювання»
Варіант І
1. Знайти похідну функції
1)
2)
3)
Варіант ІІ
1. Знайти похідну функції
1)
2)
3)
2. Тіло рухається за законом , де вимірюється в метрах, – в секундах. Знайдіть швидкість тіла через 3с після початку руху ( ).
3. Знайдіть похідну функції та обчисліть її значення в точці
2. Тіло рухається за законом , де вимірюється в метрах, – в секундах. Знайдіть швидкість тіла через 4с після початку руху ( ).
3. Знайдіть похідну функції та обчисліть її значення в точці

Відповіді до самостійної роботи №16
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Знайти похідну функції
1)
2) 3)
1)
2) 3)
2. Знайдіть швидкість тіла
, м/с
, м/с
3. Знайдіть похідну функції та обчисліть її значення в точці
,
,

4.2 Похідна складеної функції
Складеними називаються функції виду: , , та інші, а саме,
Формули диференціювання для складених функцій:

Самостійна робота № 17
«Похідна складеної функції»
Варіант І
1. Знайдіть похідну функції
1) 2)
3) 4)
5)

2. Знайдіть значення похідної заданої функції при вказаному значенні незалежної змінної:
1) , ?
2) , ?
Варіант І
1. Знайдіть похідну функції
1) 2)
3) 4)
5)
2. Знайдіть значення похідної заданої функції при вказаному значенні незалежної змінної:
1) , ?
2) , ?

Відповіді до самостійної роботи №17
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Знайти похідну функції
1) 2)
3) 4)
5)
1) 2)
3) 4)
5)
2. Знайдіть значення похідної заданої функції при вказаному значенні незалежної змінної
1) 2)
1) 2)

4.3 Ознаки сталості, зростання та спадання функції, екстремуми функції
Якщо в деякій точці похідна дорівнює 0, і крім цього, похідна, проходячи через неї, змінює свій знак, то в цій точці функція досягає екстремуму, причому

Знак похідної Поведінка функції в точці х0
Перед х0 Після х0
+ – Максимум
– + Мінімум
+ + Перегиб (екстремумів немає)
– – Перегиб (екстремумів немає)

Алгоритм знаходження проміжків монотонності та екстремумів функції:
1. Знайти похідну функції.
2. Знайти точки, в яких похідна дорівнює 0, та нанести їх на числову вісь.
3. Знайти знак похідної на кожному проміжку і встановити монотонності функції на проміжках.
4. Знайти значення функції в кожній із знайдених точок.
5. Записати у відповідь проміжки монотонності та координати екстремумів функції.

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення функції на проміжку:
1. Знайти похідну функції.
2. Знайти точки, в яких похідна рівна 0, та обрати серед них ті, що належать проміжку.
3. Знайти значення функції в обраних точках та на кінцях відрізку.
4. Записати у відповідь найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку.

Алгоритм побудови графіка функції за допомогою похідної:
1. Знайти область визначень функції.
2. Знайти точки перетину функції з осями координат.
3. Знайти проміжки монотонності та екстремуми функції.
4. Нанести знайдені точки, враховуючи область визначень функції, на координатну площину, та згідно дослідження побудувати графік функції.

Самостійна робота № 18
«Застосування похідної до дослідження функції та
побудова її графіка»
Варіант І
1. Знайти проміжки спадання і зростання функції:

Варіант ІІ
1. Знайти проміжки спадання і зростання функції:

2. Знайти точки максимуму та мінімуму функції:

2. Знайти точки максимуму та мінімуму функції:

3. Дослідіть функцію та побудуйте
її графік:

3. Дослідіть функцію та побудуйте її графік:

Відповіді до самостійної роботи №18
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Знайти проміжки спадання і зростання функції

2. Знайти точки максимуму та мінімуму функції
Максимум:
Мінімум:
Максимум: ,
Мінімум:
3. Дослідіть функцію та побудуйте її графік

Максимум:
Мінімум:

Максимум: ,
Мінімум:

Контрольна робота № 4
«Похідна та її застосування»
Варіант І

1. Тіло рухається за законом , де вимірюється в метрах, – в секундах. Знайдіть швидкість тіла через 1с після початку руху.
2. Знайти рівняння дотичної до графіка функції в точці .
3. Знайти проміжки зростання та спадання функції 1)
2)
4. Знайти найменше та найбільше значення функції на проміжку
5. Дослідити функцію та побудувати її графік
Варіант ІІ

1. Тіло рухається за законом , де вимірюється в метрах, – в секундах. Знайдіть швидкість тіла через 1с після початку руху.
2. Знайти рівняння дотичної до графіка функції в точці .
3. Знайти проміжки зростання та спадання функції 1)
2)
4. Знайти найменше та найбільше значення функції на проміжку
5. Дослідити функцію та побудувати її графік

Відповіді до контрольної роботи №4
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Знайдіть швидкість тіла через 1с після початку руху

м/с

м/с
2. Знайти рівняння дотичної до графіка функції

3. Знайти проміжки зростання та спадання функції
1)

2)

2)

4. Знайти найменше та найбільше значення функції

5. Дослідити функцію та побудувати її графік

Максимум: ,
Мінімум:

Максимум: ,
Мінімум:

Тема № 5 «Інтеграл та його застосування»
«Найвище призначення математики полягає в тому, щоб знаходити прихований порядок в хаосі, що оточує нас.»
Н. Вінер

Історична довідка.
• Інтегрування зародилося в стародавньому Єгипті, приблизно в 1800 році до нашої ери. Першою відомою методикою обчислення інтегралів вважається спосіб вичерпування Евдокса. Він робив спроби знайти обсяги і площі фігур, розриваючи їх на кілька частин, для яких вже відомі площа або об’єм. Невдовзі дана методика була розвинена Архімедом. Він застосовував її для обчислень площ парабол і зразкового розрахунку площі круга. Суть цього методу полягала в тому, що для обчислення площі плоскої фігури і, збільшуючи кількість сторін многокутника, знаходили границю, до якої прямували площі ступінчастих фігур. Проте для кожної фігури обчислення границі залежало від вибору спеціального прийому. А проблема загального методу обчислення площ і об’ємів фігур залишалась нерозв’язаною.
• Архімед ще явно не застосовував загальне поняття границі і інтеграла, хоча в неявному вигляді ці поняття використовувались.
• У XVII ст.. Йоганном Кеплером (1571 – 1630), який відкрив закони руху планет, було успішно здійснено першу спробу розвинути ідеї Архімеда. Кеплер обчислював площі плоских фігур і об’єми тіл, спираючись на ідею розкладання фігури і тіла на нескінченну кількість нескінченно малих частин. З цих частин у результаті додавання складалась фігура, площа якої відомо і яка дає змогу обчислити площу шуканої. На відміну від Кеплера, італійський математик Бонавентуро Кавальєрі (1598 – 1647), перетинаючи фігуру (тіло) паралельними прямими (площинами), вважав їх позбавленнями будь–якої товщини, але додавав ці лінії. В історію математик увійшов так званий “принцип Кавальєрі”, за допомогою якого обчислювали площі і об’єми. Цей принцип дістав теоретичне обґрунтування пізніше за допомогою інтегрального числення.
• Розвиток інтегрального числення продовжили Ейлер та П. Л. Чебишов (1821- 1894), який розробив способи інтегрування деяких класів ірраціональних функції.
• Сучасне означення інтеграла як границі інтегральних сум належить Коші. Символ було введено Лейбіцем. Знак ∫ нагадує розтягнуту S (першу букву латинського слова SUMMA – “сума”). Термін ”інтеграл” походить від латинського INTEGER – “цілий” і був запропонований у 1690р. Й. Бернуллі.

5.3 Інтегрування функції лінійного аргументу
Функція називається первісною для функції в проміжку , якщо в будь-якій точці цього проміжку її похідна дорівнює : .
Сукупність первісних для функції або для диференціала називається невизначеним інтегралом і позначається : .
Фізичний зміст невизначеного інтегралу: за відомим законом зміни швидкості деякої точки знаходиться закон руху цієї точки ( ; ).
Таблиця первісних (невизначених інтегралів):
Функція

Загальний вигляд первісної

Запис за допомогою невизначеного інтегралу
0 с
1

Самостійна робота № 19
«Інтегрування функції лінійного аргументу»
Варіант І
1. Швидкість прямолінійного руху точки змінюється за законом . Знайдіть закон руху точки.
2. Швидкість точки, що рухається прямолінійно, задано формулою . Знайдіть закон руху точки, якщо на момент початку відліку ( )вона пройшла 6м.

3. Точка рухається прямолінійно з прискоренням . Знайдіть закон руху точки, якщо в момент часу її швидкість м/с, м.

4. Обчисліть інтеграл:
1)
2)
3)
Варіант ІІ
1. Швидкість прямолінійного руху точки змінюється за законом . Знайдіть закон руху точки.
2. Швидкість точки, що рухається прямолінійно, задано формулою . Знайдіть закон руху точки, якщо на момент початку відліку ( )вона пройшла 1м.
3. Точка рухається прямолінійно з прискоренням . Знайдіть закон руху точки, якщо в момент часу її швидкість м/с, м.

4. Обчисліть інтеграл:
1)
2)
3)

Відповіді до самостійної роботи №19
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Знайдіть закон руху точки

2. Знайдіть закон руху точки за певних умов
, м

, м

3. Знайдіть закон руху точки за певних умов
, м/с

, м

, м/с

, м

4. Обчисліть інтеграл
1)
2)
3)
1)
2)
3)

5.2 Визначений інтеграл. Властивості, методи обчислення
Визначеним інтегралом від функції на відрізку називається границя інтегральної суми при умові, що довжина найбільшого з елементарних відрізків прямує до нуля:

Формула Ньютона-Лейбниця для обчислення визначених інтегралів:

Методи обчислення визначених інтегралів
1) Формула Ньютона-Лейбніца
Приклад. ( .
2) Заміна змінної. Нехай функція неперервна на [a;b], а функція неперервно диференційовна функція на , причому , то
Приклад.
=3
3) Інтегрування частинами
Формула інтегрування частинами: .
Приклад1. =
= .
Властивості визначених інтегралів
1. Визначеним інтегралом є міра площі.
Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції.
2. При переставленні меж інтегрування, визначений інтеграл змінює
знак, не змінюючи абсолютної величини:
.
3. Поділ відрізка інтегрування. Нехай точка с ,тоді

4. Знак визначеного інтеграла
а). Якщо f(x)=0, знак для х то
b). Якщо f(x) для х то .
5. Визначений інтеграл суми функцій надається як алгебраїчна сума інтегралів.
.
6. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла
.
7. Якщо функція f(x) інтегрована на , то
8. , де – константи
Самостійна робота № 20
«Обчислення визначеного інтегралу»
Варіант І
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11)
Варіант ІІ
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11)

Відповіді до самостійної роботи №20
Варіант І Варіант ІІ
1) 6 2) 3 3) 4) -3
5) 0 6) 18 7) 0 8)
9) 10) 11)
1) 15 2) -9 3) 4) 10
5) 6) 0 7) 8)
9) 10) 11)

5.3 Обчислення площ фігур за допомогою визначеного інтегралу
Формули застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур (криволінійних трапецій):
1) Якщо фігура обмежена кривою , віссю ОХ, і двома прямими , де , , то
2) Якщо фігура прилягає до вісі ОУ так, що , , то
3) Якщо фігура обмежена кривою , віссю ОХ, і двома прямими , де , лежить під віссю ОХ, то
4) Якщо фігура обмежена кривою , віссю ОХ, і двома прямими , де , розміщена з обох боків від осі ОХ, то
5) Якщо фігура обмежена двома кривими, що перетинаються, з яких і і прямими , де і , то

Самостійна робота № 21
«Обчислення площ фігур за допомогою визначеного інтегралу»
Варіант І
Обчисліть площу криволінійної трапеції, обмежену вказаними лініями:
1)
2)
3)
4)
Варіант ІІ
Обчисліть площу криволінійної трапеції, обмежену вказаними лініями:
1)
2)
3)
4)

Відповіді до самостійної роботи №21
№ завд. Варіант І Варіант ІІ
1.
кв.од

кв.од
2.

3.
кв.од

кв.од
4.
кв.од

кв.од

Контрольна робота № 5
«Інтеграл та його застосування»
Варіант І
1. Знайдіть для функції первісну, графік якої проходить через точку .
2. Обчисліть інтеграл:
1) 2)
3. Знайдіть площу фігури, обмеженої:
1) графіком функції і прямими ;
2) графіком функції та прямою
Варіант ІІ
1. Знайдіть для функції первісну, графік якої проходить через точку .
2. Обчисліть інтеграл:
1) 2)
3. Знайдіть площу фігури, обмеженої:
1) графіком функції і прямими ;
2) графіком функції та прямою

Відповіді до контрольної роботи №5
№ завдання Варіант І Варіант ІІ
1. Знайдіть для функції первісну, графік якої проходить через точку

2. Обчисліть інтеграл
1) 2)
1) 2)

3.
Знайдіть площу фігури

1)

кв.од
1)

кв.од
4. 2)

кв.од
2)

кв.од

Тема № 6 «Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики. Комбінаторика»
…спробуємо на хвилину уявити собі, що ми всі втратили
елементарні арифметичні знання. Адже це приведе до справжньої
суспільної катастрофи, бо арифметичний розрахунок
супроводить нас на кожному кроці.
Б. В. Гнєденко
Історична довідка.
• Перша згадка про питання, близькі до комбінаторних, зустрічається в китайських рукописах, що відносяться до XII – XIII ст. до н.е. (точно датувати ці рукописи неможливо, тому що вони в 213 р. до н.е. імператор Цин Шихуан наказав спалити всі книги, тому до нас дійшли пізніше зроблені копії).
• Комбінаторні мотиви можна помітити в символіці китайської “Книги Змін” (V століття до н. е..). На думку її авторів, все в світі комбінується з різних поєднань чоловічого і жіночого начал, а також восьми стихій: земля, гори, вода, вітер, гроза, вогонь, хмари і небо.
• Античні греки також розглядали окремі комбінаторні задачі, хоча систематичний виклад ними цих питань, якщо воно й існувало, до нас не дійшло.
• Хрісіпп (III століття до н.е..) і Гіппарх (II століття до н.е..) підраховували, скільки наслідків можна отримати з 10 аксіом; методика підрахунку нам невідома, але у Хрісіппа вийшло більше мільйона, а у Гіппарха – більше 100000.
• Аристотель при викладі своєї логіки безпомилково перерахував всі можливі типи тричленних силогізмів. Аристоксен розглянув різні чергування довгих і коротких складів у віршованих розмірах. Якісь комбінаторні правила піфагорійці, ймовірно, використовували при побудові своєї теорії чисел і нумерології ( вчинені числа, фігурні числа,Піфагорові трійки та ін.).
• Джероламо Кардано написав математичне дослідження ігри в кості, опубліковане посмертно. Теорією цієї гри займалися також Тарталья і Галілей. В історію зароджувалась теорії ймовірностей увійшла листування запеклого гравця шевальє де Мере з П’єром Ферма і Блез Паскаль, де були порушені кілька тонких комбінаторних питань. Крім азартних ігор, комбінаторні методи використовувалися (і продовжують використовуватися) в криптографії – як для розробки шифрів, так і для їх злому.
• Остаточно комбінаторика як самостійний розділ математики оформилася в працях Ейлера. Він детально розглянув, наприклад, такі проблеми: завдання про хід коня, завдання про сім мостів, з якої почалася теорія графів, побудова греко-латинських квадратів та інше. Батьком сучасної комбінаторики вважається Пал Ердеш, який ввів в комбінаторику імовірнісний аналіз.
• Увага до кінцевої математики і, зокрема, до комбінаториці значно підвищилося з другої половини XX століття, коли з’явилися комп’ютери. Зараз це надзвичайно змістовна і швидко розвивається область математики.
• Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх століть і першим спробам математичного аналізу азартних ігор. Спочатку її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, як до властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних виставах. Найбільш ранні роботи вчених у галузі теорії ймовірностей відносяться до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П’єр Ферма відкрили перші ймовірнісні закономірності, що виникають при киданні костей.
• Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі (1654-1705). Його праця «Мистецтва припущень» став першим грунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Він містив загальну теорію перестановок і поєднань. А відкритий ним знаменитий закон великих чисел дав можливість встановити зв’язок між імовірністю-якого випадкового події і частотою його появи, що спостерігається безпосередньо з досвіду.
• Важливий внесок в теорію ймовірностей вніс Якоб Бернуллі: він дав доказ закону великих чисел в простому випадку незалежних випробувань. У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу помилок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми.
• У другій половині XIX століття основний внесок внесли російські вчені П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. В цей час були доведені закон великих чисел, центральна гранична теорема, а також розроблена теорія ланцюгів Маркова.
• Сучасний вигляд теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації, запропонованої Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. У результаті теорія ймовірностей придбала строгий математичний вигляд і остаточно стала сприйматися як один з розділів математики.

6.1 Елементи комбінаторики
Комбінаторика – розділ математики, в якому вивчаються способи вибору і розміщення елементів деякої скінченої множини на основі якихось умов. Вибрані (або вибрані і розміщені) групи елементів називаються сполуками. Якщо всі елементи одержаних сполук різні, то одержуємо сполуки без повторень.
Перестановкою з елементів називається будь-яка впорядкована множина з елементів . Множина в якій указано який елемент знаходиться на першому, другому, третьому,…, -му місці.
Формула числа перестановок: .

Розміщення з елементів по називається будь-яка впорядкована множина з елементів, складена з елементів -елементної множини .
Формула числа розміщень: .

Комбінації без повторень з елементів по називається будь-яка множина з -елементна, складена з елементів -елементної множини .
Формула числа комбінацій: .

Під час розв’язування комбінаторних задач зручно користуватися такою схемою:
Вибір формули
Чи враховується порядок розміщення елементів?
так ні
Чи всі елементи входять до сполуки?
Комбінації
так ні
Перестановки

Розміщення

Самостійна робота № 22 «Перестановки, розміщення, комбінації»
(для самоперевірки)
№1 Скоротіть дріб
1) 2) 3)
№2 Обчисліть:
1) 2) 3) 4)
5) 6)
№3 Розв’яжіть рівняння:
1) 2) 3)

Відповіді до самостійної роботи №22
№1 1) 2) 3)
№2 1) 215 2) 11 3) 35 4) 21 5) 6)
№3 1) 7 2) 16 3) 12

Самостійна робота № 23 «Комбінаторика»
Варіант І Варіант ІІ
У завданнях №1 – 6 позначте правильну, на вашу думку, відповідь
№1 Обчисліть:
№1 Обчисліть:
А
Б
В 2 Г 24 А 5 Б 2 В
Г 6
№2 Обчисліть:
№2 Обчисліть:
А 21 Б 42 В 1 Г 2 А 56 Б 28 В 1 Г 2
№3 Обчисліть:
№3 Обчисліть:
А 24 Б 6 В 4 Г 360 А 6 Б 2 В 20 Г 60
№4 Скільки «слів» можна скласти з літер слова «лікар», шляхом їх перестановки, якщо літери не повторюються №4 Скільки «слів» можна скласти з літер слова «річка», шляхом їх перестановки, якщо літери не повторюються
А 4 Б 8! В 6! Г 5! А 5! Б 4 В 4! Г 5
№5 Скільки чотирицифрових чисел можна скласти із цифр 1; 3; 4; 7; 8. №5 Скільки чотирицифрових чисел можна скласти із цифр 2; 3; 4; 6; 9.
А 5! Б 4! В 5 Г 120 А 120 Б 5! В 60 Г 24
№6 Скількома способами з коробки, у якій лежать 6 однакових куль можна витягти 4 кулі? №6 Скількома способами з коробки, у якій лежать 6 однакових куль можна витягти 3 кулі?
А 4 Б 20 В 15 Г 6 А 120 Б 20 В 30 Г 3
№7 Обчисліть №7 Обчисліть
1)
2)
1)
2)

Відповіді до самостійної роботи №23
Варіант І Варіант ІІ
№1 Б №1 В
№2 А №2 Б
№3 Г №3 Г
№4 Г №4 А
№5 Г №5 А
№6 В №6 Б
№7 1) 100 2) 1,5 №7 1) 2) 3

6.2 Основні поняття теорії ймовірності
Як і будь-яка інша математична теорія, теорія ймовірностей будується на основі деяких основних понять, відношень та означень. За їх допомогою формулюються основні правила, закони, теореми.
Дослід, експеримент, спостереження події називають випробуванням. Результат, наслідок випробування називають подією.
Розрізняють події вірогідні, неможливі та випадкові
Вірогідною називається подія, яка при випробуванні обов’язково наступає.
Неможливою називається така подія, яка в результаті випробування явно не відбувається.
Випадковою називається подія, яка в даному випробуванні може відбутися, а може і не відбутись.
Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи іншої в одному й тому самому випробуванні.
Дві події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу другої в одному й тому самому випробуванні.
Дві події А і В називаються протилежними, якщо в даному випробуванні вони несумісні й одна з них обов’язково відбувається.
Імовірність – числова характеристика можливості появи випадкової події за певної умови, яка може бути відтворена необмежену кількість разів.
Імовірністю випадкової події називається відношення кількості подій, які сприяють цій події, до кількості всіх рівноможливих несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування (виражається звичайним дробом).
, m – число елементарних подій, які сприяють події А; n – загальна кількість рівноможливих і несумісних подій, які утворюють повну групу. Причому .
Відносною частотою настання події А називають відношення числа випробувань m , у яких подія відбулась, до загального числа фактично проведених випробувань n. Таким чином, відносна частота події А визначається формулою (виражається дійсним числом).
Самостійна робота № 24 «Відносна частота події. Імовірність подій»
Варіант І
1. З офіційних даних, взятих за 2013 рік на Черкащині кожного місяця народжувалась певна кількість хлопчиків та дівчат:
місяць 1 2 3 4 5
Хлопч А 720 360 1200

Дівчата В 250 204

разом 1020 760 715 1059 1500
1) обчисліть відносну частоту події А – народився хлопчик (результат округліть до сотих);
2) обчисліть відносну частоту події В – народилася дівчинка (результат округліть до десятих).

2. На картках написані числа від 1 до 50. Яка ймовірність того, що навмання вибрана картка буде містити число:
1) кратне 3;
2) дільником 152;
3) парне число.
3. Яка імовірність того, що ваша майбутня дитина народиться (не високосний рік):
1) 7 числа 2) 31 числа
4. Яка імовірність того, що навмання вибране двоцифрове число ділиться на 15? Варіант ІІ
1. З офіційних даних, взятих за 2015 рік на Черкащині кожного місяця народжувалась певна кількість хлопчиків та дівчат::
місяць 1 2 3 4 5
Хлопч А 520 208

Дівчата В 620 350 450

разом 1040 1320 600 586 892
1) обчисліть відносну частоту події А – народився хлопчик (результат округліть до сотих);
2) обчисліть відносну частоту події В – народилася дівчинка (результат округліть до десятих).
2. На картках написані числа від 1 до 48. Яка ймовірність того, що навмання вибрана картка буде містити число:
1) кратне 4;
2) дільником 204;
3) непарне число.
3. Яка імовірність того, що ваша майбутня дитина народиться (не високосний рік):
1) 5 числа 2) 30 числа
4. Яка імовірність того, що навмання вибране двоцифрове число ділиться на 12?

Відповіді до самостійної роботи №24
Варіант І Варіант ІІ
№1
місяць 1 2 3 4 5
Хлопч А 720 510 360 855 1200

0,71 0,67 0,002 0,81 0,8
Дівчата В 300 250 355 204 300

0,3 0,3 0,5 0,2 0,2
разом 1020 760 715 1059 1500
№1
місяць 1 2 3 4 5
Хлопч А 420 520 250 208 442

0,40 0,39 0,42 0,36 0,50
Дівчата В 620 800 350 378 450

0,6 0,6 0,6 0,6 0,5
разом 1040 1320 600 586 892

№2 1) 2) 3)
№2 1) 2) 3)
№3 1) 2)
№3 1) 2)
№4
№4

6.3 Математична статистика. Основні поняття
Історична довідка.
• Статистика — практична діяльність людей із збирання та обробки інформації — виникла з утворенням держави як господарський облік.
• Слово “статистика” спочатку вживалось і перекладалось як “державознавство”. Щоб керувати державою, потрібна була інформація про кількість населення, склад земель, майновий стан населення, чисельність чоловіків, придатних до військової справи, та ін.
• У стародавні часи в країнах склались розвинені системи державного й адміністративного обліку. Як свідчить історія, починаючи з 435 р. до н. е. у Римі кожні п’ять років проводився перепис населення, де були дані про майновий стан жителів, поділених на соціальні групи.
• У Стародавньому Китаї, починаючи приблизно з 2300 р. до н. е., проводились переписи населення, земель, торгівлі, ремесел.
• У Єгипті орієнтовно з 2200 р. до н. е. був уведений поточний облік населення. Епоха Відродження змінила характер господарського обліку. Крім державного, з’явився облік з ініціативи банкірів, торговців, власників майстерень. У цей час (1495р.) заклались основи бухгалтерського обліку.
• Розвиток бухгалтерського обліку і первинної реєстрації фактів, накопичування масових даних про суспільні явища, необхідність їх узагальнення, розвиток таких фундаментальних наук, як математика, філософія, зумовили виникнення статистики як науки.
• З розвитком суспільного поділу праці, обміну, виникненням міст, розвитком промисловості, посиленням централізованої влади в масштабі країни змінюється характер та зміст статистичних робіт. Статистика значно розширює коло об’єктів вивчення, виникають статистичні органи, що займаються збиранням, обробкою статистичних даних з різноманітних питань життя суспільства.
• Першими статистиками, творцями статистики як науки вважаються англійські «політичні арифметики» Дж. Граунд і У. Петті, які застосували статистичні методи при вивченні природного руху населення в Лондоні та при обчисленні багатства, прибутку, чисельності та складу населення, але слово «статистика» вони не вживали.
• У 1746 р. німецький профессор філософії та права Г. Ахенваль уперше почав читати нову дисципліну і назвав новий курс «Статистикою».

Методи збирання, обробки, інтерпретації різноманітних даних вивчає окремий розділ прикладної математики – математична статистика. Генеральна сукупність – множина всіх можливих результатів дослідження (спостереження).
Статистична вибірка, статистичний ряд ( варіативний ряд) – множина результатів, які реально одержані у данному спостереженні (вимірюванні). Варіанта – одне із значень елементів вибірки.
Статистичний ряд, у якому елементи розташовані у порядку зростання чи спадання, називається ранжованим.
Розмах вибірки (R) – це різниця між найбільшим та найменшим значенням випадкової величини у вибірці.
Мода (Mo) – це таке значення випадкової величини, яке у вибірці зустрічається найчастіше.
Медіана (Me) – це так зване середнє значення упорядкованого ряду значень випадкової величини. Якщо кількість елементів вибірки непарне, то це значення, що стоїть «посередині», інакше – це середнє арифметичне двох значень випадкової величини, що стоять «посередині».
Середнім значенням ( ) випадкової величини називається середнє арифметичне всіх значень вибірки.

Самостійна робота № 25 «Математична статистика. Основні поняття»
Варіант І
Нижче наведено результати тестування дорослих на виявлення коефіцієнта інтелектуальності.
141 92 100 132 97 110 106 107 105 92 127 95 109 108 104 104 87 133 118 124 111 135 110 110 127 114 105 102 92 94 101 115 124 98 118 146 118 97 101 116 112 113 95 102 133 121 133 97 92 101 146 121

1. За цими даними складіть таблицю розподілу значень випадкової величини (К) за частотами (М) і відносними частотами (W, округлити до сотих).
2. Обчисліть розмах вибірки, моду, медіану, середнє значення (округлити до одиниць).
Варіант ІІ
Нижче наведено результати вимірювання зросту студентів.

149 155 159 162 171 150 155 159 162 171 150 155 159 165 173 151 156 159 166 173 151 156 161 166 173 152 157 161 166 175 152 157 161 167 176 153 157 162 167 178 154 158 162 169 180 154 158 162 170 182
157
1. За цими даними складіть таблицю розподілу значень випадкової величини (К) за частотами (М) і відносними частотами (W округлити до сотих).
2. Обчисліть розмах вибірки, моду, медіану, середнє значення (округлити до одиниць).

Відповіді до самостійної роботи №25
Варіант І
№1 Всього 52 числа містить дана вибірка
Таблиця розподілу:
K 87 92 94 95 97 98 100 101 102 104 105 106 107 108 109 110
M 1 4 1 2 3 1 1 3 2 2 2 1 1 1 1 3
W 0,02 0,08 0,02 0,04 0,06 0,02 0,02 0,06 0,04 0,04 0,04 0,02 0,02 0,02 0,02 0,06

K 111 112 113 114 115 116 118 121 124 127 132 133 135 141 146
M 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 1 3 1 1 2
W 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,06 0,04 0,04 0,04 0,02 0,06 0,02 0,02 0,04

№2
R=59; Mo=92; Me=110; =111

Варіант ІІ
№1 Всього 51 число містить дана вибірка
Таблиця розподілу:
K 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 161 162 165 166 167
M 1 2 2 2 1 2 3 2 4 2 4 3 5 1 3 2
W 0,02 0,04 0,04 0,04 0,02 0,04 0,06 0,04 0,08 0,04 0,08 0,06 0,10 0,02 0,06 0,04

K 169 170 171 173 175 176 178 180 182
M 1 2 1 3 1 1 1 1 1
W 0,02 0,04 0,02 0,06 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02

№2
R=33; Mo=162; Me=161; =162

Контрольна робота №6
«Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики»
Варіант І
1. З 12 робітників треба сформувати ремонтну бригаду з трьох осіб. Скількома способами можна це зробити?
А Б В Г Д
110 132 220 44 440

2. П’ять карток занумеровано числами 1, 2, 3, 4, 5. Яка ймовірність того, що добуток номерів вибраних навмання двох картках, дорівнюватиме непарному числу?
А Б В Г Д
0,3 0,2 0,4 0,1 0,5

3. Установіть відповідність між центральною тенденцією вибірки (1-3) та її значенням (А-Г)
1. Середнє значення вибірки: 12; 17; 11; 13; 14; 15; 15; 16; 13; 13 А. 13
2. Мода вибірки: 12; 17; 11; 13; 14; 15; 15; 16; 13; 13 Б. 13,5
3.Медіана вибірки: 12; 17; 11; 13; 14; 15; 15; 16, 13, 13 В. 13,7
Г. 13,9

4. Задано 25 чисел. Серед них число 9 повторюється 12 разів, число 8 –
дев’ять разів, число 15 – чотири рази. Знайдіть середнє арифметичне заданих чисел.
5. У профспілковий комітет вибрані 10 чоловік. З них необхідно вибрати голову, заступника і секретаря. Скількома способами це можна зробити?

6. У ящику лежать чотири білі, п’ять червоних і кілька синіх кульок. Знайдіть загальну кількість кульок у ящику, якщо ймовірність витягти навмання синю кульку дорівнює 0,25?

7. Розв’язати рівняння
Варіант ІІ
1. Для бригади робітників із восьми осіб виділили три путівки до санаторію. Скількома способами можна сформувати групу робітників, що поїдуть до санаторію?
А Б В Г Д
335 336 220 56 44

2. П’ять карток занумеровано числами 1, 2, 3, 4, 7. Яка ймовірність того, що добуток номерів вибраних навмання двох картках, дорівнюватиме парному числу?
А Б В Г Д
0,3 0,2 0,4 0,1 0,5

3. Установіть відповідність між центральною тенденцією вибірки (1-3) та її значенням (А-Г)
1. Середнє значення вибірки: 5; 8; 6; 6; 2; 7; 7; 7; 4; 4 А. 5,6
2. Мода вибірки: 5; 8; 6; 6; 2; 7; 7; 7; 4; 4 Б. 6
3.Медіана вибірки: 5; 8; 6; 6; 2; 7; 7; 7; 4; 4 В. 6,5
Г. 7

4. Задано 25 чисел. Серед них число 10 повторюється 12 разів, число 7 –
дев’ять разів, число 11 – чотири рази. Знайдіть середнє арифметичне заданих чисел.
5. Скількома способами з групи в 30 чоловік можна вибрати двох делегатів на конференцію, якщо делегати мають різні повноваження?

6. У сумці є яблука, серед яких вісім червоних, решта – жовтих. Знайдіть кількість жовтих яблук у сумці, якщо ймовірність витягти червоне дорівнює 0,4

7. Розв’язати рівняння

Відповіді до контрольної роботи №6
Варіант І Варіант ІІ
№1 В №1 Г
№2 В №2 Д
№3 1) – Г, 2) – А, 3) – Б №3 1) – А, 2) – Г, 3) – Б
№4 9,6 №4 9,08
№5 720 №5 870
№6 3 №6 12
№7 7 №7 4

Тести

Тест 1. Дійсні числа та обчислення. Відсоткові розрахунки.

Варіант І
1. Записати дріб у відсотках:
а) 0, 75; б) 1,2 5;
в) 0, 34 ; г) інша відповідь.

2. Вміст цукру в ягодах 9,6%. Скільки кілограмів цукру в 150 кг таких ягід?
а) 14,4 кг; б) 1,44 кг;
в) 13,6 кг; г) інша відповідь.
3. Скоротити дріб:
а) 2; б) ;
в) ; г) інша відповідь.
4. Чому дорівнює значення виразу ( + ) – ?
а) – ; б) 9;
в) ; г) інша відповідь.

5. Ціну на деякий товар спочатку знизили на 10%, а потім ще на 25%, а через деякий час підвищили на 20%. Як змінилася початкова ціна товару?
а) зменшилася на 15% б) зменшилася на 19 %;
в) збільшилася на 10%; г) інша відповідь.

6. Знайти відсоток вмісту солі в розчині, якщо в 400 г розчину міститься 48 г солі?
а) 12%; б) 16 %;
в) 8 % ; г) інша відповідь.
7. Знайти значення виразу :
а) 3; б) ;
в) 9; г) інша відповідь.
8. Знайти значення виразу
а) 0; б) 4;
в)2; г) інша відповідь.

ІІ варіант

1. Записати дріб 0,005 у відсотках:
а) 0, 5; б) 5;
в) 0, 05 ; г) інша відповідь.
2.Вміст цукру в ягодах 9,6%. Скільки кілограмів цукру в 300 кг таких ягід?
а) 28,8 кг; б) 2,88 кг;
в) 27,2 кг; г) інша відповідь.
3. Скоротити дріб:
а) 4; б) 2;
в) ; г) інша відповідь.
4. Чому дорівнює значення виразу ?
а) а – 8; б) ;
в) ; г) інша відповідь.
5. Ціна товару підвищилася з 600 грн. до 624 грн. На скільки відсотків відбулося підвищення ціни товару?
а) на 40 % б) на 4 %;
в) на 0,4 %; г) інша відповідь.
6. Ціну на товар знизили на 10 % і він став коштувати 324 грн. Якою була початкова ціна товару?
а) 360 грн.; б) 3240 грн.;
в) 450 грн.; г) інша відповідь.
7. Знайти значення виразу :
а) -1; б) 1;
в) -2 ; г) інша відповідь.

8. Знайти значення виразу :
а) 0; б) 6;
в) 7; г) інша відповідь.

ІІІ варіант

1. Записати дріб 0,0276 у відсотках:
а) 2,76; б) 0,276;
в) 27,6 ; г) інша відповідь.

2. Вміст цукру в ягодах 9,6%. Скільки кілограмів цукру в 450 кг таких ягід?
а) 43,2 кг; б) 4,32 кг;
в) 40,8 кг; г) інша відповідь.
3. Скоротити дріб:
а) ; б) 2;
в) ; г) інша відповідь.
4. Чому дорівнює значення виразу ?
а) 5 – ; б)
в) b – 23; г) інша відповідь.

5. Який відсоток вмісту хрому в чавуні, якщо200 кг чавуну містять
14 кг хрому?
а) 6 % ; б) 7 % ;
в) 8 % ; г) інша відповідь.
6. В автопарку 20 % автобусів білого кольору, а 1/9 автобусів – жовтого. Скільки автобусів у автопарку, якщо їх більше за 50,
але менше від 100?
а) 90 б) 45
в) 88 г) інша відповідь.
7. Знайти значення виразу :
а) -1; б) 1;
в) 2 ; г) інша відповідь.

8. Знайти значення виразу :
а) 0; б) 6;
в) 8; г) інша відповідь.

ІV варіант

1. Записати дріб 2,927 у відсотках:
а) 292,7; б) 29,27;
в) 0,02927 ; г) інша відповідь.

2.Вміст цукру в ягодах 9,6%. Скільки кілограмів цукру в 600 кг таких ягід?
а) 57,6 кг; б) 5,76 кг;
в) 48,8 кг; г) інша відповідь.
3. Скоротити дріб:
а) ; б) 2;
в) 3; г) інша відповідь.
4. Чому дорівнює значення виразу ?
а) ; б)
в) ; г) інша відповідь.
5. Знайти відсоток вмісту срібла в сплаві, якщо в 300 г сплаву міститься 63 г срібла?
а) 14 % ; б) 21 % ;
в) 7 % ; г) інша відповідь.
6. Число b становить 40 % від числа с, а число f – 40 % від числа b. Скільки відсотків від числа с становить число f?
а) 16 % ; б) 4 % ;
в) 20 % ; г) інша відповідь.
7. Знайти значення виразу :

а) -1; б) 2 ;
в) 1; г) інша відповідь.

8. Знайти значення виразу:

а) 0; б) 6;
в) 10; г) інша відповідь.

Відповіді до тесту
Варіант Завдання
1 2 3 4 5 6 7 8
1-4 А А В Б Б А А Б

Тест 2. Числові функції. Область визначення і множина значень. Способи задання функцій. Графік функцій. Монотонність, парність і непарність функцій. Неперервність функцій.

І варіант

1. Обчислити значення функції f (х) = в точці х0 =
а) 25 ; б) 1 ;
в) 0 ; г) інша відповідь.
2. Знайти область визначення функції у =
а) [8; + ); б) (- ;8);
в) (8; + ); г) інша відповідь.

3. Яка з наведених функцій парна?
а) у = х3; б) у = х4;
в) у = ; г) у = х – 5;

4. На якому проміжку функція у =- х2 + 4х – 3 набуває додатніх значень,
а) [1;3]; б) (0; 1);
в) (1; 3); г) інша відповідь.
5. При яких значеннях х функція у = невизначена?
а) 0 ; б) 0; 2 ;
в) 2 ; г) інша відповідь.

6. Визначити проміжки зростання функції у = -х2+2х+4
а) (- ; 1]; б) (- ; 5];
в) (0; 5); г) інша відповідь.
7. Знайти координати точок перетину графіків функцій
у = х+2 , у = не виконуючи побудови
а) (2; 4) ; б) (-4; -2) ;
в) (2; 4) ; (-4;-2); г) інша відповідь.

8. Знайдіть область визначення функції у = +
а) (-6; 2); б) [-6; 2);
в) (-6; ); г) інша відповідь.

ІІ варіант
1. Обчислити значення функції f (х) = в точці х0 =
а) 36 ; б) 1 ;
в) 0 ; г) інша відповідь.
2. Знайти область визначення функції у =
а) (-9; + ); б) (-9; 9);
в) [-9; + ); г) інша відповідь.

3. Яка з наведених функцій парна?
а) х-2; б) х2+х4;
в) ; г) у = х – 5;

4. На якому проміжку функція у =- х2 + 2х + 3; набуває додатніх значень,
а) [-1;3]; б) (0; 4);
в) (-1; 3); г) інша відповідь.
5. При яких значеннях х функція у = невизначена?
а) 0 ; б) 0; 3 ;
в) 3 ; г) інша відповідь.
6. Визначити проміжки спадання функції у = х2- 6х+5
а) (- ; 3]; б) ( 1; 3);
в) (- ; -4); г) інша відповідь.
7. Знайти координати точок перетину графіків функцій у = х+3,
у = не виконуючи побудови
а) (0; 3), (-3; 0); б) (-4; 3) ;
в) (1; 4) ; (-4; -1) г) інша відповідь.
8. Знайдіть область визначення функції у =
а) (-1; 5); б) (-1; );
в) [-1; 5); г) інша відповідь.

ІІІ варіант

1. Обчислити значення функції у = в точці х0 =
а) 64; б) 1;
в) 0; г) інша відповідь.
2. Знайти область визначення функції у =
а) (-5; 5); б) [-5; 5];
в) R; г) інша відповідь.
3. Яка з наведених функцій парна?
а) х2 – х; б) х6 + х4;
в) ; г) інша відповідь.
4. На якому проміжку функція у = -х2-2х+3 набуває додатніх значень,
а) [-3; 1]; б) (0; 4);
в) (-3; 1); г) інша відповідь.
5. При яких значеннях х функція у = невизначена ?
а) 0; б) 0; 3;
в) 3; г) інша відповідь.
6. На якому проміжку функція у = -х2-2х-3 спадна?
а) [-1; 1]; б) (-1; 1);
в) (4; + ); г) інша відповідь.
7. Знайти координати точок перетину графіків функцій у = х2,
у = 6х – 8, не виконуючи побудови
а) (-2; 4), (-4; 16); б) (2; 4), (-4; 16);
в) (2; 4); г) інша відповідь.
8. Знайдіть область визначення функції у =
а) (- ; -9) U (1;2) U (2; ); б) (- ; -9) U (1; );
в) (- ; -9] U [1; 2) U (2; ); г) (- ; -9] U [1; ).

ІV варіант

1. Обчислити значення функції у = в точці х0 =
а) 16; б) 1;
в) 0; г) інша відповідь.
2. Знайти область визначення функції у =
а) [-16; 16]; б) (-16; 16);
в) (- ; 16]; г) інша відповідь.
3. Яка з наведених функцій парна ?
а) х2 + х + 3; б) х2 + 6;
в) + х2; г) інша відповідь.
4. На якому проміжку функція у = 3+2х – х2 набуває додатніх значень?
а) [-1; 3]; б) (0; 4);
в) (-1; 3); г) інша відповідь.
5. При яких значеннях х функція у = невизначена ?
а) 0; б) 0; ;
в) ; г) інша відповідь.

6. На якому проміжку функція у = -х2+4х-3 зростає?
а) (- ; 2]; б) (- ; 1);
в) (1; 3); г) інша відповідь.

7. Знайти координати точок перетину графіків функцій х2 + у2 = 4, у = 2 – х не виконуючи побудови
а) (2; 2); б) (4;0), (0; 4);
в) (2; 0), (0; 2); г) інша відповідь.

8. Знайдіть область визначення функції у =
а) (3; 6); б) [3;6];
в) (3; 6]; г) [0; 6].

Відповіді до тесту
Варіант Завдання
1 2 3 4 5 6 7 8
1-4 А В Б В Б А В Б

Тест 3. Корінь -го степеня. Арифметичний корінь -го степеня, його властивості. Степені з раціональними показниками, їхні властивості.

І варіант.

1. Знайти значення виразу:

а) 2; б) 4
в) 8; г) інша відповідь.
2. Порівняти:
а) = ; б) > ;
в) < ; г) інша відповідь.
3. Винести множник з-під знака кореня:
а) 2хуz2 ; б) 2ху 2z2 ;
в) 2ху 2z ; г) інша відповідь.
4. Знайти область допустимих значень виразів: (у+3)
а) (-3; + ); б) [0; + );
в) [-3; + ); г) інша відповідь.
5. Розкласти на множники: 9х -х
а) (3х – х )(3х + х ); б) (3 – х) (3 + х);
в) (9 – ) (9 + ); г) інша відповідь.
6. Обчислити:
а) 3,6; б) 18;
в) 5; г) інша відповідь.
7. Спростити: ·
а) a2; б) а;
в) ; г) інша відповідь.

8. Спростити вираз:

а) у – х ; б) у – х;
в) ; г) інша відповідь.

ІІ варіант.

1. Знайти значення виразу:

а) 4; б) 2;
в) 64; г) інша відповідь.
2. Порівняти:
а) = ; б) < ;
в) > ; г) інша відповідь.
3. Винести множник з-під знака кореня:
а) 3хуz ; б) 3ху z2 ;
в) 3ху z2 ; г) інша відповідь.
4. Знайти область допустимих значень виразу: (4-х)
а) (- ; 4]; б) (- ; 0);
в) (- ; 4); г) інша відповідь.
5. Розкласти на множники: у – 64
а) (у – 8) (у + 8); б) ( (
в) (у – 4) (у + 4); г) інша відповідь.
6. Обчислити: ·
а) 3; б) -3;
в) 9; г) інша відповідь.
7. Спростити:
а) a; б) 1;
в) ; г) інша відповідь.
8. Спростити вираз:
а) у – х ; б) х – у ;
в) ; г) інша відповідь.

ІІІ варіант.

1. Знайти значення виразу:
а) 10; б) 100;
в) 33 ; г) інша відповідь.

2. Порівняти:
а) = б) >
в) < г) інша відповідь.

3. Винести множник з-під знака кореня:
а) 2ху 2z 2 ; б) 2ху 2z2 ;
в) 2ху2 z2 ; г) інша відповідь.
4. Знайти область допустимих значень виразів: (2х -3)
а) [ 1 ; + ); б) (0; + );
в) (1 ; + ); г) інша відповідь.
5. Розкласти на множники: а – 3в
а) (а – 3в )( а + 3в ); б) (а – 3 в )( а + 3 в );
в) (а – 3в )( а + 3в ); г) інша відповідь.

6. Обчислити: –
а) -1; б) 1-2 ;
в) -1-2 ; г) інша відповідь.
7. Спростити:
а) а ; б) а ;
в) а2; г) інша відповідь.
8. Спростити вираз:

а) -х – у ; б) х – у ;
в) ; г) інша відповідь.
ІVваріант.

1. Знайти значення виразу:
а) 7; б) 49;
в) 14 ; г) інша відповідь.
2. Порівняти: 1
а) = 1 ; б) < 1;
в) > 1; г) інша відповідь.
3. Винести множник з-під знака кореня:
а) 3ху 2z3 ; б) 3ху 2z3 ;
в) 3ху 2z2 ; г) інша відповідь.
4. Знайти область допустимих значень виразів: (4 – 2у)
а) (- ; 2]; б) ( – ; 0];
в) (- ; 2); г) інша відповідь.
5. Розкласти на множники: х-5 – у
а) ( х -10 – у-10)( х -10 + у-10); б) ( х – у )( х + у );
в) ( х – у )( х + у ); г) інша відповідь.
6. Обчислити:
а) 6; б) 18;
в) 10; г) інша відповідь.
7. Спростити: ·
а) в – 2; б) в;
в) в ; г) інша відповідь.
8. Спростити вираз:

а) х + у ; б) х – у ;
в) х-у; г) інша відповідь.

Відповіді до тексту
Варіант Завдання
1 2 3 4 5 6 7 8
1 А В Б В А А Б А
2 А В Б В А А Б Б
3 А В Б В Б А Б А
4 А В Б В Б А Б Б
Тест 4. Синус, косинус, тангенс, котангенс кута. Радіанне вимірювання кутів. Тригонометричні функції числового аргументу. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Формули зведення. Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій.

І варіант
1. Чому дорівнює: cos 150° ?
а) ; б) ; в) – ; г) інша відповідь.
2. Позначте правильне висловлювання:
а) sin 45° > sin 135°; б) cos 30°> cos 120°;
в) tg 190°<0; г) інша відповідь.
3. Знайти правильну рівність:
а) 180° = рад ; б) рад=30°;
в) рад = 60°; г) інша відповідь.
4. Які результати дістанемо спростивши вираз:
sin (π- x)+ cos ( – x )• sin (π + x )?
а) sin х + sin х; б) sin х – sin2х;
в) sin х – sin х; г) інша відповідь.
5. Обчислити значення cos, якщо: sin=0,6; 0°< < 180°
а) 0,8; б) ±0,8;
в) -0,8; г) інша відповідь.
6. Знайти sin, якщо: sec=2
а) ± ; б) ;
в) ; г) інша відповідь.
7. Спростити вираз: – sin  – cos 
а) -1 + tg ; б) – sec ;
в) 1- tg ; г) інша відповідь.
8. Обчислити значення виразу: sin 780°
а) ; б) ;

в) – ; г) інша відповідь.
ІІ варіант
1. Чому дорівнює: sin 150° ?
а) ; б) ;
в) – ; г) інша відповідь
2. Позначте правильне висловлювання:
а) sin 170° > sin 80°; б) cos 30°> cos 10°;
в) ctg 190°<0; г) інша відповідь.
3. Знайти правильну рівність:
а) рад=60°; б) рад=270°;
в) рад=180°; г) інша відповідь.
4. Які результати дістанемо спростивши вираз:
sin ( – x )• cos (π + x )- cos (π- x) ?
а) cos х – cos х; б) cos х+ cos х;
в) -cos х+ sin х; г) інша відповідь.
5. Обчислити значення cos, якщо:
sin=0,8; 0°< < 180°
а) -0,6; б) ±0,6;
в) -0,6; г) інша відповідь.
6. Знайти sin, якщо: sec=
а) ± ; б) ;
в) ; г) інша відповідь.
7. Спростити вираз: (1+ tg  ) •cos + tg 
а) 1 + sin ; б) tg  +1;
в) 1; г) інша відповідь.

8. Обчислити значення виразу: cos
а) ; б) – ;

в) ; г) інша відповідь.

ІІІ варіант

І. Чому дорівнює: tg 150° ?
а) 1 ; б) ;
в) – ; г) інша відповідь
2. Позначте правильне висловлювання:
а) sin 135° > sin 20°; б) cos 30°> cos 26°;
в) cos 190°<0; г) інша відповідь.
3. Знайти правильну рівність:
а) рад=135°; б) 45°= рад;
в) 120°= рад; г) інша відповідь.
4. Які результати дістанемо спростивши вираз:
sin ( + x )+tg ( + x ) tg х?
а) cos х -1; б) cos х+ 1;
в) cos х- tg х; г) інша відповідь.
5. Обчислити значення cos, якщо: sin= , < < π
а) – ; б) – ;
в) ; г) інша відповідь.
6. Знайти cos , якщо: cos ec= 2
а) ; б) ± ;
в) – ; г) інша відповідь.
7. Спростити вираз: (1+ сtg  ) •(1-cos ) – sin 
а) sin ; б) cos ;
в) 0; г) інша відповідь.
8. Обчислити значення виразу: sin(- )
а) – ; б) ;

в) 1; г) інша відповідь.

ІV варіант
І. Чому дорівнює: ctg 150° ?
а) ; б) ;
в) – ; г) інша відповідь.
2. Позначте правильне висловлювання:
а) sin 125° > sin 25° ; б) cos 30°> cos 130°;
в) sin 190° > 0 ; г) інша відповідь.

3. Знайти правильну рівність:
а) рад=180° ; б) рад=150°;

в) рад=120°; г) інша відповідь.
4. Які результати дістанемо спростивши вираз:
sin (π+ x )- ctg ( + x ) tg х?
а) sin х +tg х; б) sin х – 1;
в) sin х – tg х; г) інша відповідь.

5. Обчислити значення cos , якщо: sin=0,6 , < < π
а) 0,8 ; б) -0,8;
в) ±0,8; г) інша відповідь.
6. Знайти cos , якщо: cos ec  =
а) ; б) ± ;
в) – ; г) інша відповідь.

7. Спростити вираз: сtg  (1+ tg  ) –
а) 1 б) 0
в) 2sin  г) інша відповідь.
8. Обчислити значення виразу: сtg (- )
а) 1; б) -1;

в) 0; г) інша відповідь.

Відповіді до тесту
Варіант Завдання
1 2 3 4 5 6 7 8
1 В Б Б А Б А Б А
2 А В А А Б Б Б А
3 В В Б А Б Б Б А
4 В Б В А Б Б Б А

Тест 5. Тригонометричні формули додавання та наслідки з них. Найпростіші тригонометричні рівняння та нерівності.

І варіант
1. Використовуючи формули зниження степеня, здійснити перетворення виразу:cos5 x
а) 2 sin ; б) 2 cos10 x ;
в) cos10 x ; г) інша відповідь.
2. Спростити: cos cos
а) cos ; б) ;
в) sin2π; г) інша відповідь.
3. Знайти найбільше і найменше значення виразу: sin х+2 cos х
а) [-3; 3]; б) [0; 3];
в) [- ; ]; г) інша відповідь.
4. Обчислити sin 2, якщо sin =-0,6 180°< <270°
а) -2; б) 2;
в) 0,96; г) інша відповідь.
5. Обчислити cos(30°+), якщо cos =- , 180 °< <270°
а) ; б) – ;
в) 1; г) інша відповідь.
6. Розв’язати рівняння: sin х = 0,5
а) ± +2 πп, п є Z ; б) (-1) +πп, п є Z;
в) +2 πп; п є Z; г) інша відповідь.
7. Обчислити: arctg (- ) + arctg 0
а) ; б) – ;
в) ; г) інша відповідь.
8. Розв’язати нерівність: sin х >
а) ( +2πп; П+2πп), п є Z; б) х > ;
в) ( +2πп; +2πп), п є Z; г) інша відповідь.
ІІ варіант

1. Використовуючи формули зниження степеня, здійснити перетворення виразу: 1+cos5 x
а) 2 cos ; б) 2 sin 10 x ;
в) sin 10 x ; г) інша відповідь.
2. Спростити: sin sin tg
а) sin ; б) 2sin ;
в) sin ; г) інша відповідь.
3. Знайти найбільше і найменше значення виразу:
3sin х+ cos х
а) [ 0; 4 ]; б) [ -4; 4 ];
в) [ – ; ]; г) інша відповідь.
4. Обчислити cos 2 , якщо cos =-0,6, < <2 π
а) -0,2; б) 0,28;
в) -0,28; г) інша відповідь.
5. Обчислити cos(600 – ), якщо sin = , 90 °< <180°
а) ; б) 0;
в) 1; г) інша відповідь.
6. Розв’язати рівняння: tg х = -1
а) ± + πп, п є Z; б) – + πп, п є Z;
в) – + πп, п є Z; г) інша відповідь.
7. Обчислити: tg (arc sin 0) + arc cos
а) ; б) ;
в) ; г) інша відповідь.
8. Розв’язати нерівність: sin х >
а) ( +2 πп; π +2 πп), є Z; б) х > ;
в) ( +πп; +πп), ; г) інша відповідь.
ІІІ варіант

1. Використовуючи формули зниження степеня, здійснити перетворення виразу: 2cos ( )
а) 1+ sin x ; б) 1- cos x ;

в) 1-sin x ; г) інша відповідь.
2. Спростити: (ctg tg )· tg2
а) 1; б) 2;
в) tg ; г) інша відповідь.
3. Знайти найбільше і найменше значення виразу: 4sin х+3 cos х
а) [ -7; 7 ]; б) [ 0; 7 ];
в) [ -5; 5 ]; г) інша відповідь.
4. Обчислити sin , якщо sin х = 0,6, < х <π
а) -0,01; б) 0,1;
в) ; г) інша відповідь.
5. Обчислити sin (30 0+ ), якщо cos = , 270 °< < 360°
а) ; б) 0;
в) 1; г) інша відповідь.
6. Розв’язати рівняння: сtg х = –
а) + πп, ; б) – +πп, ;
в) + πп, ; г) інша відповідь.
7. Обчислити: сtg (arc cos 0 ) – arc cos (- )
а) ; б) – ;
в) ; г) інша відповідь.
8. Розв’язати нерівність: sin х >
а) ( +2πп; π+2πп) , ; б) ( +πп; +πп) , ;
в) [ +πп; π +2πп ] , ; г) інша відповідь.
ІV варіант
1. Використовуючи формули зниження степеня, здійснити перетворення виразу: 1+cos6 x
а) 2 cos 3х; б) 2 cos 12 x ;
в) 2sin 3х; г) інша відповідь.
2. Спростити:
а) cos 2х; б) 2 cos 2х;
в) sin 3 ; г) інша відповідь.
3. Знайти найбільше і найменше значення виразу: 6sin х+8 cos х
а) [ -14; 14 ]; б) [ 0; 10 ];
в) [ -10; 10 ]; г) інша відповідь.
4. Обчислити cos , якщо sin х = 0,6, < х <π
а) -0,03; б) 0,9;
в) ; г) інша відповідь.
5. Обчислити sin (60° + ), якщо cos =- , 180 °< < 270°
а) ; б) 0;
в) 1; г) інша відповідь.
6. Розв’язати рівняння: cos х = –
а) ± +2 πп, ; б) ± +2πп, ;
в) ± +2 πп, ; г) інша відповідь.
7. Обчислити: сtg (arc cos ) + tg
а) ; б) 2 ;
в) 0; г) інша відповідь.
8. Розв’язати нерівність: tg х > 1
а) ( +πп; +πп) , ; б) [ ; ];
в) ( +2πп; +2πп ) , ; г) інша відповідь.
Відповіді до тесту
Варіант Завдання
1 2 3 4 5 6 7 8
1-4 А Б В В Б В Б А

Тест 6. Тригонометричні рівняння і нерівності.

І варіант.
1. Обчислити: arcsin (-1)
а) (-1) + πп; б) +πп;
в) – +πп; г) інша відповідь.
2. Яке з рівнянь не має розв’язку?
а) sin х= 0,7; б) sin х= 1,3;
в) sin х=- 0,25; г) інша відповідь.
3. Розв’язати рівняння: cos х =
а) +2πп, ; б) – +πп, ;
в) ± +2πп, ; г) інша відповідь.
4. Розв’язати рівняння: 2 sin ( )=
а) πп, ; б) (-1)п +πп, ;
в) (-1)п +πп, ; г) інша відповідь.

5. Розв’язати нерівність: 2sin2 х ≥ 1
а) , ; б) , ;
в) , ; г) інша відповідь.
6. Розв’язати рівняння: 2 cos 2 х – 9 cosх – 5 = 0
а) ± +2πп, ; б) ± +2πп, ;
в) ± +2πп, ; г) інша відповідь.
7. Розв’язати нерівність: sin 3х cosх + sin х cos3х >
а) , ; б) , ;
в) , ; г) інша відповідь.
8. Розв’язати рівняння: sin 5х- sin х= sin 7х- sin3 х
а) , ; б) , ;
в) πп, ; г) інша відповідь.

ІІ варіант.
1. Обчислити: arccos (- )
а) ± +2πп; б) – +πп;
в) ± +2π п; г) інша відповідь.
2. Яке з рівнянь не має розв’язку?
а) cos х= ; б) cos х= ;
в) cos х=- ; г) інша відповідь.

3. Розв’язати рівняння: tg х = 1
а) +2πп, ; б) ;
в) +πп, ; г) інша відповідь.

4. Розв’язати рівняння: 2 cos (х- )+ =0
а) ± +2 πп, ; б) ± +2πп, ;
в) ± +2πп, ; г) інша відповідь.

5. Розв’язати нерівність: 2 tg ≥ 2
а) , ; б) , ;
в) , ; г) інша відповідь.

6. Розв’язати рівняння: 2 cos2 х – 3 cos х – 2 = 0
а) ± +2 п, ; б) ± +2 п, ;
в) ± +2 п, ; г) інша відповідь.

7. Розв’язати нерівність: sin х cos – sin cos х >
а) , ; б) , ;
в) , ; г) інша відповідь.
8. Розв’язати рівняння: tg х = tg 2 х
а) п, ; б) ± + п, ;
в) + п, ; г) інша відповідь.

ІІІ варіант.

1. Обчислити: arctg (- )
а) – + п; б) – +2 п;
в) – + п; г) інша відповідь.
2. Яке з рівнянь не має розв’язку?
а) sin х= ; б) sin х = – ;
в) cos х= ; г) інша відповідь.
3. Розв’язати рівняння: сtg х =
а) +2 п, ; б) ;
в) + п, ; г) інша відповідь.
4. Розв’язати рівняння: 2 sin ( )+1=0
а) + п, ; б) (-1)п+1 + п, ;
в) ) (-1)п +2 п, ; г) інша відповідь.
5. Розв’язати нерівність: 2 sin3 х – >0
а) , ; б) , ;
в) , ; г) інша відповідь.
6. Розв’язати рівняння: cos 9 х – cos х = 0
а) п, ; б) 5 п; 4 п , ;
в) ; , ; г) інша відповідь.
7. Розв’язати нерівність: cos2 – sin2 <
а) , ; б) , ;
в) , ; г) інша відповідь.
8. Розв’язати рівняння: tg х = сtg 2 х
а) , ; б) ± +2 п, ;
в) + п, ; г) інша відповідь.
ІV варіант.

1. Обчислити: acrctg (- )
а) – + п; б) – + п;
в) +2 п; г) інша відповідь.
2. Яке з рівнянь не має розв’язку:?
а) tg х=3; б) cos х = 3 ;
в) сtg х= ; г) інша відповідь.
3. Розв’язати рівняння: sin х = 0
а) (-1)п +2 п, ; б) , ;
в) п, ; г) інша відповідь.
4. . Розв’язати рівняння: 2 cos (х+ )+1=0
а) + п, ; б) ± +2 п, ;
в) +2 п, ; г) інша відповідь.
5. Розв’язати нерівність: 2 sin – 0
а) , ; б) , ;
в) , ; г) інша відповідь.
6. Розв’язати рівняння: 5 sin2 х – 6 sinхcos х + cos2 х = 0
а) , ; б) п, ;
в) п; arсtg , ; г) інша відповідь.
7. Розв’язати нерівність: 2 cos 2 – 1 <
а) , ; б) , ;
в) , ; г) інша відповідь.
8. Розв’язати рівняння: sin х + cos х = 1
а) , ; б) п , ;
в) , ; г) інша відповідь.
Відповіді до тесту
Варіант Завдання
1 2 3 4 5 6 7 8
1-4 А Б В Б А В А А

Додаток

1. Графіки елементарних функцій та їх властивості

Функція та її графік Властивості
Пряма пропорційність

Функція непарна
Якщо , то функція зростає на множині (графік І)
Якщо , то функція спадає на множині (графік ІІ)

Лінійна функція

Якщо , то функція не парні ані непарна; – функція парна; – функція непарна; – функція не парні ані непарна.
Якщо , то функція зростає на множині (графік 1)
Якщо , то функція спадає на множині (графік 2)
Якщо , то функція є сталою (графік 3)
Графік лінійної функції – пряма, що утворює з віссю абсцис кут , тангенс якого рівний
Обернена пропорційність

Функція не парна
Якщо , то функція спадає на множині (графік 1)
Якщо , то функція зростає на множині (графік 2)
Графік лінійної функції – гіпербола

Квадратична функція

Рис. 1 Рис. 2
, якщо ; , якщо
Функція парна
, то функція зростає якщо , спадає якщо (графік 1)
, то функція зростає якщо , спадає якщо (графік 1)
Графік лінійної функції – парабола
Квадратична функція
або

Рис. 1 Рис. 2

, якщо ; , якщо
Функція непарна ані непарна
, то функція зростає якщо , спадає якщо (графік 1)
, то функція зростає якщо , спадає якщо (графік 1)
Графік лінійної функції – парабола
Кубічна функція

Рис. 1 Рис. 2

Функція непарна
, то функція зростає на множині (графік 1)
, то функція спадає на множині (графік 2)
Графік лінійної функції – кубічна парабола
Функція виду

Функція не парна ані непарна
функція зростає на множині
Графік функції – вітка параболи
Функція

Функція парна
Функція зростає на множині , якщо ; спадає на множині , якщо
Показникова функція

Рис. 1 Рис. 2

Функція не парна ані непарна
, то функція спадає на множині (графік 1)
, то функція спадає на множині (графік 2)
Графік функції – експонента

Логарифмічна функція

Рис. 1 Рис. 2

Функція не парна ані непарна
, то функція зростає на множині (графік 1)
, то функція спадає на множині (графік 2)

Тригонометричні функції

Функція непарна
Функція періодична
Функція зростає на множині ; спадає на множині
Графік функції синусоїда
Тригонометричні функції

Функція парна
Функція періодична
Функція зростає на множині ; спадає на множині
Графік функції котангенсоїда
Тригонометричні функції

Функція не парна ані непарна
Функція періодична
Функція зростає на множині
Графік функції тангенсоїда
Тригонометричні функції

Функція не парна ані непарна
Функція періодична
Функція спадає на множині
Графік функції котангенсоїда

2. Знаки тригонометричних функцій в координатних чвертях

3. Кругова таблиця синусів і косинусів

4. Значення тригонометричних функцій для деяких значень аргументу

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
0

0

1

0

1

0 –
–
–
-1

0
1
– –
-1 –
0

–
1
0 –
-1 –
–

5. Основні тригонометричні тотожності та формули

1)
2)

3)
4)
5)

6)

6. Обернені тригонометричні функції. Графіки, властивості.

7. Формули зведення

8. Таблиця розв’язування тригонометричних нерівностей

9. Таблиця розв’язування тригонометричних рівнянь

Кор. немає

Кор. немає

Особливі випадки:

Особливі випадки:

Особливі випадки:

Особливі випадки:

 

10. Таблиця похідних

11. Формули диференціювання складених функцій ( – диференційована в точці , складена)

12. Таблиця інтегралів

Функція називається первісною для функції на даному проміжку, якщо для будь-якого х з цього проміжку .
Відшукання первісної функції за заданої її похідною є дія обернена диференціювання – інтегрування.
Функція

Загальний вигляд первісної

Запис за допомогою невизначеного інтегралу
Фізичний зміст первісної – шлях

Геометричний – рівняння кривої
0 с

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Література:

1. Бевз Г.П., Бевз В.Г. «Математика 10 клас», рівень стандарту, К., «Генеза», 2011р.
2. Бевз Г.П., Бевз В.Г. «Математика 11 клас», рівень стандарту, К., «Генеза», 2011р.
3. Богомолов М.В. «Практичні завдання з математики», К., «Вища школа», 1983р.
4. Бородін О.І. «Історія розвитку поняття про число і системи числення,», К., «Радянська школа», 1968р.
5. Бурда М.І., Біляніна О.Я. «Збірник завдань для ДПА, 11 клас», Х., «Гімназія», 2008р.
6. Коба В.І., «Позакласна робота з математики в школі», «Радянська школа», К., 1968р.
7. Корнес А.І., Бабенко С.П. «Математика. Зошит для контрольних та самостійних робіт 10 клас», Х., «Ранок», 2010р.
8. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б. «Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання, 10 клас; 11 клас», Х., «Гімназія», 2010р.
9. Нелін Є.П. «Алгебра і початки аналізу, 10 клас», Х., «Гімназія», 2010р.
10. Нелін Є.П. «Алгебра і початки аналізу, 11 клас», Х., «Гімназія», 2011р.
11. Сеньо П.С. «Теорія ймовірностей та математична статистика», К., «Центр навчальної літератури», 2004р.
12. Соколенко О.І., Новик Г.А. «Вища математика в прикладах і задачах», К., «Либідь», 2001р.
13. Шкіль М.І., Слєпкань З.І. «Алгебра і початки аналізу, 10 – 11 клас», К., «Зодіак-ЕКО», 1995р.

Для нотаток

 

Конкурс «Карібу» – це міжнародне онлайн-змагання з математики, яке проводиться командою представників з Канади та інших країн шість разів протягом навчального року окремо для учнів 2-х, 3 – 4-х, 5 – 6-х, 7 – 8-х, 9 – 10-х та 11-х класів.

У 2020 – 2021 навчальному році пробний тур математичного конкурсу Карібу проходив в режимі онлайн 14 – 15 жовтня 2020 року,  участь безкоштовна.  Рейтинг кожного учня в Кубку Карібу визначається за 5 найкращими показниками у 6 змаганнях протягом навчального року.

Є кілька варіантів участі учнів у конкурсі:

– заклади освіти організовують участь, але дозволяють учням виконувати завдання вдома у визначений час;

– батьки організовують участь своїх дітей вдома, реєструючи їх у віртуальній школі Карібу.

Більш детальну інформацію про конкурс та особливості реєстрації можна дізнатися на сайті за посиланням:  https://cariboutests.com/

Крім того, рекомендуємо використовувати у роботі та навчанні додаткові матеріали Карібу (письмові розв’язки завдань, конкурси на поточний рік та за попередні роки, тести для проходження в Інтернеті, онлайн-ігри з математики та логіки, міні-курси в режимі онлайн тощо), значна частина яких є безкоштовними і доступними без реєстрації для участі у конкурсі.

 

Методичні рекомендації

«Порядок оцінювання навчальних досягнень учнів основної та старшої школи в системі загальної середньої освіти»

Поступальне вдосконалення загальної середньої освіти спрямоване на переорієнтацію процесу навчання на розвиток особистості учня, на навчання його самостійно оволодівати новими знаннями, на формування функціональних, мотиваційних та соціальних компетентностей.

У контексті цього змінюються і підходи до оцінювання результатів навчальних досягнень школярів як складової навчального процесу. Оцінювання має ґрунтуватися на позитивному принципі, що передусім передбачає врахування рівня досягнень учня, а не ступеня його невдач.

Визначення рівня навчальних досягнень учнів є особливо важливим з огляду на те, що навчальна діяльність у кінцевому підсумку повинна не просто дати людині суму знань, умінь та навичок, а сформувати її компетентність як загальну здатність, що базується на знаннях, досвіді, цінностях, здібностях, набутих завдяки навчанню. Поняття компетентності не зводиться тільки до знань і навичок, а належить до сфери складних умінь і якостей особистості. Компетентісний підхід до освіти передбачає вміння на основі знань вирішувати проблеми, які виникають у різних життєвих ситуаціях.

Нормативно-правове забезпечення оцінювання навчальних досягнень учнів

Оцінювання результатів навчання учнів у закладах загальної середньої освіти урегульовано такими документами:

1. Закон України «Про повну загальну середню освіту»(стаття 17).
2. Лист МОН від 27.12.2000 № 1/9 – 529«Орієнтовні вимоги до виконання письмових робіт і перевірки зошитів з природничо-математичних дисциплін у 5-11 класах.
3. Наказ МОН від 03.06.2008 № 496«Про затвердження Інструкції з ведення класного журналу учнів 5-11(12)-х класів загальноосвітніх навчальних закладів».
4. Наказ МОН №329 від 13.04.11 року «Про затвердження Критеріїв оцінювання навчальних досягнень учнів (вихованців) у системі загальної середньої освіти».
5. Наказ МОН № 1222 від 21.08.13 року«Про затвердження орієнтовних вимог оцінювання навчальних досягнень учнів із базових дисциплін у системі загальної середньої освіти».
6. Лист МОН № 1/9-213 від 16.04.20 року «Щодо проведення підсумкового оцінювання та організованого завершення 2019-2020 навчального року».
7. Додаток до листа Міністерства освіти і науки України від 11.08.2020 № 1/9-430 «Інструктивно-методичні рекомендації щодо викладання навчальних предметів у закладах загальної середньої освіти у 2020/2021 навчальному році».
8. Лист Міністерства освіти і науки України від 29.10.07 № 1/9-651 «Про обсяг і характер домашніх завдань учнів загальноосвітніх навчальних закладів.

Орієнтовні вимоги до виконання письмових робіт, перевірки зошитів та оцінювання навчальних досягнень учнів з математики

1. Ведення зошитів з математики учнями навчальних закладів з 5-го по 11-й клас є обов’язковим.
2. У зошитах виконуються письмові класні, домашні та контрольні роботи.
3. Основними видами класних і домашніх письмових робіт учнів є:

ü розв’язування задач і вправ;

ü складання таблиць, схем, тощо;

ü виконання проектів;

ü самостійні та контрольні роботи.

4. Форми поточних та підсумкових письмових робіт:

ü контрольні роботи з різнорівневими завданнями;

ü контрольні роботи в тестовій формі;

ü комбіновані контрольні роботи;

ü самостійні роботи (навчальні та контролюючі).

Поточні контрольні роботи мають на меті перевірку засвоєння вивченого програмового матеріалу. Для проведення поточних контрольних робіт учитель може використовувати цілий урок або його частину.

Підсумкові контрольні роботи проводяться після вивчення найбільш значущих тем у відповідності до календарно-тематичного планування вчителя та згідно з Програмою з математики. Підсумкові контрольні роботи проводяться в кінці семестру, року.

Кількість, характер самостійних робіт та час, відведений на їх проведення, визначається вчителем.

5. Кількість і призначення учнівськихзошитів

5.1. Для виконання класних і домашніх робіт учні повинні мати таку кількість зошитів:

ü з математики 5 — 6 класи – два зошити;

ü з алгебри 7-9 класи – один-два зошити;

ü з алгебри та початків аналізу 10-11 класи – один зошит;

ü з геометрії 7-11 класи – один зошит.

5.2. Для контрольного тематичного оцінювання передбачаються окремі зошити чи аркуші, які зберігаються протягом навчального року в закладі загальної середньої освіти. В них виконуються контрольні роботи та робота над помилками (корекційні роботи):

Кількість зошитів для контрольних робіт:

в 5-6 класах – 1 зошит для контрольних робіт з математики;

в 7-11 класах – 2 зошити, з них один для контрольних робіт з алгебри (алгебри та початків аналізу) і один для контрольних робіт з геометрії.

5.3. Самостійні роботи з математики учні можуть виконувати в робочих зошитах або на окремих аркушах.

6. Порядок ведення зошитів з математики

Усі записи в зошитах учні виконують з дотриманням таких вимог:

6.1. Писати охайно, розбірливим почерком, синім чорнилом.

6.2. Оформлення титульної сторінки зошита:

 

Зошит

для робіт з математики (алгебри, алгебри і початків аналізу, геометрії)

учня (учениці)_______ класу

назва закладу освіти

Прізвище та ім’я (в родовому відмінку)

6.3. Зберігати поля з зовнішньої сторони.

6.4. При виконанні письмової роботи в 5-9 класах потрібно писати дату і назву місяця словами, наприклад, п’яте жовтня, десяте травня, у 10-11 класах – цифрами на полях, наприклад, 15.09.20.

6.5. Вказати місце виконання роботи (класна чи домашня). Позначати номер вправи, задачі. Наприклад:

Десяте вересня

Класна робота

Вправа 126 (задача 202)

У зошитах для контрольних робіт в усіх класах доцільно записати лише дату й тему, у межах якої виконується контрольна робота, наприклад:

Перше жовтня

Нерівності

Варіант 1

Звертаю увагу, що після заголовків, назв видів робіт, підпису зошита крапку не ставлять.

6.6. Між датою і заголовком, назвою виду роботи і заголовком, а також між заголовком і текстом у зошитах з математики у всіх цих випадках пропускати тільки 1 клітинку.

Між останнім рядком даної письмової роботи та наступною роботою пропускати 4 клітинки (для відокремлення однієї роботи від іншої і для виставлення оцінки за роботу).

6.7. Креслення виконуються олівцем (у випадку необхідності – із застосуванням лінійки та циркуля), а умовні позначення до них підписуються ручкою.

6.8. Неправильні записи: літера, число чи знак закреслювати похилою лінією, частину слова, слово, вираз – тонкою горизонтальною лінією; угорі над виправленням надписується необхідна літера, слово, вираз; не виділяти неправильні записи дужками. При виправленні не використовувати коректор.

7. Порядок перевірки письмових робіт учителями

7.1. Зошити учнів, в яких виконуються класні та домашні роботи, перевіряються:

ü з математики в 5 та 6 класах – один раз на тиждень у кожного учня

ü в 7-9 класах – один раз на два тижні у кожного учня;

ü в 10-11 класах – один раз на місяць у кожного учня.

Вчителі математики не повинні обмежуватись лише власною перевіркою виконання учнівських робіт, а мають практикувати самоперевірку, взаємоперевірку, формуючи тим самим в учнів потребу здійснювати самоконтроль.

Вчитель також може перевіряти і оцінювати частину письмової роботи (задачу, вправу, побудову графіка тощо).

Оцінка за ведення зошитів з математики виставляється до класного журналу наприкінці вивчення кожної теми, але не рідше, ніж один раз на місяць. До уваги береться наявність і правильність виконання класних і домашніх робіт, оцінки за поточну перевірку зошитів, охайність ведення зошитів. Оцінка за ведення зошитів враховується при виведенні семестрової. У разі відсутності учня на уроці протягом місяця рекомендуємо в колонці за ведення зошита зазначати н/о (нема оцінки). Ведення зошитів оцінюють від 1 до 12 балів щомісяця протягом року.

До виправлення помилок у робочих роботах вчителі можуть підходити диференційовано, враховуючи вікові особливості учнів та рівень сформованості відповідного уміння у конкретного учня/учениці:

ü виправляти помилки власноруч;

ü підкреслювати вираз з помилкою;

ü підкреслювати саму помилку з метою самостійного виправлення її учнем/ученицею;

ü позначати рядок, в якому є помилка, на полях з метою самостійного пошуку та виправлення помилки учнями.

При перевірці контрольних робіт з математики вчитель тільки підкреслює і не виправляє допущену помилку щоб учень самостійно її виправив на уроці уналізу контрольної роботи.

У разі використання зошитів з друкованою основою для перевірки навчальних досягнень учнів, учитель повинен зберігати використані варіанти протягом навчального року. Самостійні роботи з математики учні можуть виконувати в робочих зошитах, у зошитах з друкованою основою, або на окремих аркушах.

7.2. Всі види контрольних робіт з математики перевіряються у всіх учнів.

7.3. Перевірка контрольних робіт учителем здійснюється в термін до наступного уроку.

7.4. У роботах, що перевіряються, вчитель позначає і виправляє допущені помилки, керуючись наступним:

• підкреслення і виправлення помилок здійснюється вчителем лише червоними чорнилами;
• оцінювання навчальних досягнень учнів здійснюється відповідно до орієнтовних вимог до оцінювання, затверджених наказом Міністерства освіти і науки України від 21.08.2013 № 1222 «Про затвердження орієнтовних вимог оцінювання навчальних досягнень учнів із базових дисциплін у системі загальної середньої освіти».

7.5. Усі контрольні роботи обов’язково оцінюються вчителем із занесенням оцінок до класного журналу.

Самостійні навчальні письмові роботи також оцінюються. Оцінки в журнал за ці роботи можуть бути виставлені на розсуд учителя.

За класні і домашні письмові роботи в журнал виставляються бали на вибір учителя.

7.6. Після перевірки контрольних робіт учням дається завдання виправити помилки або виконати вправи, які попереджають повторення аналогічних помилок. Робота над попередженням помилок здійснюється у тих же зошитах, у яких виконувались відповідні письмові роботи.

Для запобігання перевантаження учнів час проведення тематичних контрольних робіт визначається загальношкільним графіком, складеним заступником директора закладу загальної середньої освіти за погодженням із вчителями. Впродовж одного робочого дня учні можуть виконувати письмову тематичну контрольну роботу тільки з однієї дисципліни, а протягом тижня — не більше ніж з трьох. Під час планування тематичних робіт у кожному класі необхідно передбачити їх рівномірний розподіл протягом усього семестру, не допускаючи накопичення.

Пропонуємо у 5-11 класах на початку навчального року проводити діагностичні контрольні роботи з метою корекції навчального матеріалу, за попередні класи.

Вимоги щодо обсягу домашніх завдань регламентуються методичним листом Міністерства освіти і науки України від 29.10.2007 № 1/9-651 «Про обсяг і характер домашніх завдань учнів загальноосвітніх навчальних закладів».

Учні мають витрачати на підготовку всіх домашніх завдань таку кількість часу:

ü 5 – 6 кл. – 2,5 год.

ü 7 – 9 кл. – 3 год.

ü 10 – 11 кл. – 4 год.

         Вимоги до ведення класного журналу регламентуються наказом Міністерства освіти і науки України від 03.06.2008 № 496 «Інструкція з ведення класного журналу учнів 5-11 (12) класів ЗНЗ».

8. Оцінювання навчальних досягнень учнів

Контроль навчальних досягнень учнів здійснюється у вигляді

ü поточного,

ü тематичного,

ü семестрового,

ü річного оцінювання

ü державної підсумкової атестації.

Не підлягають обов’язковому оцінюванню навчальні досягнення учнів з факультативних, групових та індивідуальних занять, які фіксуються в окремому (спеціальному) журналі.

Поточне оцінювання здійснюється у процесі поурочного вивчення теми. Його основними завданнями є:

ü встановлення й оцінювання рівнів розуміння і первинного засвоєння окремих елементів змісту теми,

ü встановлення зв’язків між ними та засвоєним змістом попередніх тем,

ü закріплення знань, умінь і навичок.

Формами поточного оцінювання є

ü індивідуальне та фронтальне опитування;

ü тестова форма контролю та оцінювання навчальних досягнень учнів;

ü робота з графіками, схемами, діаграмами;

ü виконання учнями різних видів письмових робіт;

ü взаємоконтроль учнів у парах і групах;

ü самоконтроль тощо.

Поточне оцінювання учнів з математики проводиться безпосередньо під час навчальних занять або за результатами виконання домашніх завдань, усних відповідей, письмових робіт тощо. Інформація, отримана на підставі поточного контролю, є основою для коригування роботи вчителя на уроці.

Тематичному оцінюванню навчальних досягнень підлягають основні результати вивчення теми (розділу).

Тематичне оцінювання навчальних досягнень учнів забезпечує:

ü системність в оцінюванні;

ü підвищення об’єктивності оцінки знань, навичок і вмінь;

ü індивідуальний та диференційований підхід до організації навчання;

ü систематизацію й узагальнення навчального матеріалу;

ü концентрацію уваги учнів до найсуттєвішого в системі знань.

Тематична оцінка виставляється на підставі результатів опанування учнями матеріалу теми впродовж її вивчення з урахуванням поточних оцінок, різних видів навчальних робіт (практичних, проектних, контрольних) та навчальної активності школярів. У процесі вивчення значних за обсягом тем можливе проведення декількох проміжних тематичних оцінювань.

Якщо учень (учениця) був(ла) відсутній(я)  на уроках протягом вивчення теми, не виконав(ла) вимоги навчальної програми, у колонку з надписом Тематична  виставляється н/а (не атестований(а)).

Тематична оцінка не підлягає коригуванню.

Семестрова оцінка виставляється без дати до класного журналу в колонку з надписом І семестр, ІІ семестр. Семестрове оцінювання здійснюється на підставі тематичних оцінок та підсумкових оцінок за ведення зошитів. При цьому  мають враховуватися динаміка особистих навчальних досягнень учня (учениці) з предмета протягом семестру, важливість теми, тривалість її вивчення, складність  змісту тощо.

Якщо дитина прохворіла частину семестру, пропустила, наприклад, одну тематичну, не має оцінки за якийсь вид діяльності, то оцінка за семестр виводиться на розсуд учителя в залежності від динаміки особистих навчальних досягнень учня (учениці), важливості пропущеної теми чи теми, за яку учня (ученицю) атестовано, – (тривалість вивчення, складність змісту, ступінь узагальнення матеріалу). За таких умов оцінка за семестр може бути такою, як тематичні або знижена на кілька балів (на розсуд учителя) .

Якщо учень (учениця) був(ла) відсутній(я) на уроках протягом семестру, у відповідну клітинку замість оцінки за І семестр чи ІІ семестр  виставляється  н/а (не атестований(а)).

Семестрова оцінка може підлягати коригуванню. Скоригована семестрова оцінка виставляється без дати у колонку з надписом Скоригована поруч із колонкою І семестр або ІІ семестр. Колонки для виставлення скоригованих оцінок  відводяться навіть за відсутності учнів, які виявили бажання їх коригувати.

Підвищення семестрової оцінки учнями:

9-х класів – не дає їм права на отримання свідоцтва з відзнакою;

10-11(12)-х класів –  не дає їм права бути претендентами на нагородження золотою «За особливі успіхи у навчанні» та срібною «За успіхи у навчанні» медалями.

Річна оцінка виставляється до журналу в колонку з надписом Річна без  зазначення дати  не раніше, ніж через три дні після виставлення оцінки за ІІ семестр.

Річне оцінювання здійснюється на основі семестрових або скоригованих семестрових оцінок.

У разі коригування учнями оцінки за ІІ семестр, річна оцінка виставляється їм не пізніше 10 червня поточного року.

У випадку не атестації учня (учениці) за підсумками двох семестрів у колонку Річна робиться запис н/а (не атестований(а)).

Коригування річної оцінки проводиться згідно з пунктами 9-10 Порядку переведення учнів (вихованців) закладу загальної середньої освіти до наступного класу, затвердженого наказом Міністерства освіти і науки України 14.07 2015 № 762 (у редакції наказу Міністерства освіти і науки України від 08 травня 2019 року № 621), зареєстрованого в Міністерстві юстиції України 30 липня 2015 р. за № 924/27369.

Виставлення оцінки з державної підсумкової атестації здійснюється у колону з надписом ДПА  без зазначення дати.

Під час організації освітнього процесу з використанням дистанційних технологій навчання в умовах карантину підсумкове оцінювання (тематичне, семестрове та річне) буде здійснюватися віддалено, із використанням цифрових технологій для всіх здобувачів освіти, незалежно від форми, за якою вони здобувають освіту (очної (денної та вечірньої), заочної, дистанційної, мережевої, сімейної (домашньої), екстернатної, педагогічного патронажу).

Для забезпечення рівних умов проходження оцінювання всіма учнями рекомендовано запровадити гнучкий графік проведення підсумкових контрольних робіт. Якщо передбачається пересилання завдань та результатів оцінювання хоча б одним учнем засобом поштового зв’язку (за відсутності Інтернету та/або технічних засобів навчання), бажано збільшити часовий період, відведений для проходження підсумкового оцінювання.

Рекомендовано попередньо надіслати учням графік проведення всіх видів оцінювання, у якому буде зазначатися:

ü  форма та вид оцінювання з кожного навчального предмета;

ü  необхідні для цього ресурси;

ü  дата та тривалість проведення оцінювання (для синхронного режиму);

ü  дата та час розміщення завдань, кінцевий термін та спосіб їх подання (для асинхронного режиму).

Учитель має отримати зворотній зв’язок від усіх учнів щодо ознайомлення з графіком та наявності технічної можливості виконати та надіслати завдання у зазначений термін. Якщо хтось з учнів не має можливості виконати завдання, передбачити для них інший спосіб проходження оцінювання та пересилання матеріалів.

Якщо оцінювання проводиться в синхронному режимі, рекомендовано передбачити додаткову можливість його проходження для учнів, які не мають технічних засобів навчання або постійного підключення до мережі Інтернет, а також для тих, у кого відбувся технічний збій під час проходження оцінювання.

Їх потрібно перевірити й оцінити. Організація виконання і контролю їх під силу навіть тим учителям, які не працюють на платформах дистанційного навчання, але мають засоби інтернет-зв’язку, зокрема телефон. Про це докладно йдеться в листі Міністерства освіти і науки України № 1/9-213 від 16.04.2020 «Щодо проведення підсумкового оцінювання та організованого завершення 2019/2020 навчального року».

Оцінювання результатів навчання здобувачів освіти під час освітнього процесу із використанням технологій дистанційного навчання вчителі здійснювали у зручний для кожного спосіб, а в подальшому бали слід занести до відповідних сторінок класного журналу.

Особливості оцінювання та ведення журналу у 10-11 класах

(Рівень стандарту)

У кінці кожної теми з алгебри і початків аналізу та з геометрії вчитель проводить тематичне оцінювання. При виставленні тематичної оцінки враховуються всі види навчальної діяльності, що підлягали оцінюванню протягом вивчення теми.

Семестрове оцінювання здійснюється на підставі тематичного окремо з алгебри і початків аналізу і окремо з геометрії. Типовою освітньою програмою закладів загальної середньої освіти ІІІ ступеню передбачене оцінювання учнів 10-11-х класів з математики. Семестрова оцінка з математики виводиться як середнє арифметичне семестрових оцінок з двох математичних курсів (алгебри і початків аналізу та геометрії) та здійснюється округлення до цілого числа. (Наприклад, учень/учениця має семестрові оцінки 8 з алгебри і початків аналізу і 9 з геометрії. Тоді середнє значення становитиме (8+9):2=8,5≈9. Отже, семестрова оцінка з математики – 9).

Семестрова оцінка з математики виставляється без дати до класного журналу на сторінку з алгебри і початків аналізу в колонку з надписом

«І семестр. Математика», «ІІ семестр. Математика» та на сторінку зведеного обліку. Семестрова оцінка може підлягати коригуванню відповідно до «Інструкції з ведення класного журналу учнів 5-11(12)-х класів загальноосвітніх навчальних закладів», затвердженої наказом Міністерства освіти і науки України від 03 червня 2008 року № 496. Коригована семестрова оцінка з математики виводиться як середнє арифметичне скоригованих семестрових оцінок з двох математичних курсів (алгебри і початків аналізу та геометрії) та здійснюється округлення до цілого числа за наведеним прикладом. Виставляється коригована семестрова оцінка з математики на сторінку з алгебри і початків аналізу.

Річне оцінювання здійснюється на основі семестрових або скоригованих семестрових оцінок з математики. Річна оцінка з математики виставляється на сторінку з алгебри і початків аналізу в стовпчик з надписом «Річна. Математика». На сторінку зведеного обліку навчальних досягнень учнів річна оцінка з математики виставляється у стовпчик «Математика».