Тригонометричні функції

by Yuliia Hoshovska

Joined Nov 2022
Published Books 1

Зміст

1.Числове коло
2. Синус і косинус. Тангенс і котангенс.
3. Тригонометричні функції числового аргументу
4. Тригонометричні функції кутового аргументу
5. Властивості функції y = sinx та її графік
6. Властивості функції y = cosx та її графік
7. Періодичність тригонометричних функцій, парність, непарність
8. Функції y=tgx, y=ctgx, їх властивості і графік
9. Обернені тригонометричні функції (профільний)
10. Періодичні функції (профільний)

3

Одиничне коло – коло, центр якого розташований на початку координат і радіус якого дорівнює 1.

Одиничне коло зі встановленою відповідністю між дійсними числами і точками кола називають числовим колом.

4

Кут, який утворений додатним напрямком осі OX і променем OA, називається кутом повороту.

Важливо запам’ятати, де знаходяться кути 0°; 90°; 180°; 270°; 360°.

Якщо A переміщається проти годинникової стрілки, виходять додатні кути.

Якщо A перемещається за годинниковою стрілкою, виходять від’ємні кути.
rinkis - Copy - Copy (2).jpg

5

Позначте на одиничному колі кут 225°.

1) Визначаємо, в якому квадранті знаходиться кут:

він більше 180° і менше 270°, отже, в III квадранті.

2) Обчислюємо, на скільки градусів цей кут відрізняється від кута 180°.

225° =180° + 45°

Позначте на одиничному колі кут –120°.

Кут позначається у від’ємному напрямку. Він знаходиться в III квадранті.

Розв’язання:

−120° =−90° + (−30°)

6

Будь-яке коло може розглядатися, як числове, але зручніше використовувати одиничне коло.

Одиничне коло – це коло, радіус якого береться за одиницю виміру.

Довжина одиничного кола l дорівнює l=2π⋅R=2π⋅1=2π

Вважаємо, що R=1.

Якщо взяти π≈3,14, тоді довжина кола l може бути виражена числом 2π≈2⋅3,14=6,28

Будемо користуватися одиничним колом, в якому проведені горизонтальний і вертикальний діаметри CA і DB (див. рис.)

7

Якщо точка M числового кола відповідає числу t, тоді абсцису точки M називають косинусом числа t та позначають cos t,а ординату точки M називають синусом числа t та позначають sin t.

един окр.61.png

−1≤cost≤1

−1≤sint≤1

8

Відношення синуса числа t до косинуса того ж числа називають тангенсом числа t і позначають tg t.

Відношення косинуса числа t до синуса того ж числа називають котангенсомчисла t і позначають ctg t.

9

Значення синуса кута повороту читаються з осі Oy.

Значення косинуса кута повороту читаються з осі Ox.

10

Важливо вміти зчитувати з кола наступні значення синуса і косинуса:

sin 0∘=0

sin 90∘=1

sin 180∘=0

sin 270∘=−1

sin 360∘=0

cos 0∘=1

cos 90∘=0

cos 180∘=−1

cos 270∘=0

cos 360∘=1

11

Щоб зчитати значення тангенса кута повороту, через точку (1;0) проводиться дотична до одиничного кола. Ця пряма називається віссю тангенса. Значення тангенса читаються з осі Oy.
Щоб зчитати значення котангенса кута повороту, через точку (0;1) проводиться дотична до одиничного кола. Ця пряма називається віссю котангенса. Значення котангенса читаються з осі Ox.

12

Важливо вміти зчитувати з одиничного кола наступні значення тангенса і котангенса:

tg 0∘=0

tg 90∘ не існує

tg 180∘=0

tg 270∘ не існує

tg 360∘=0

ctg 0∘ не існує

ctg 90∘=0

ctg 180∘ не існує

ctg 270∘=0

ctg 360∘ не існує

13

Відомо, що яким би не було дійсне число t, йому можна поставити у відповідність однозначно певне число sin t.

Правило відповідності наступне: треба

1. розташувати числове коло на координатній площині так, щоб центр кола співпав з початком координат, а початкова точка A кола потрапила в точку (1;0);

2. на колі знайти точку, що відповідає числу t;

3. знайти ординату цієї точки, яка і є sin t.

Це і буде функція s=sint,t∈R

Аналогічно можна сказати ще про три функції:

s=cost;

s=tgt;

s=ctgt.

Всі ці функції називають тригонометричними функціями числового аргументу t.

14

Із термінами “синус”, “косинус”, “тангенс”, “котангенс” ми зустрічалися і раніше в геометрії, коли розглядали синус, косинус, тангенс і котангенс кута, а не числа, як було в попередніх темах.

Насправді, ці два підходи до даних визначень тісно пов’язані між собою.

Візьмемо кут із градусною мірою α° і розташуємо його в числовому колі на координатній площині так, щоб вершина кута сполучилася з центром кола (початком системи координат), одна сторона кута сполучилася з додатним променем осі абсцис, а друга сторона перетинала б коло у точці M (див. мал.).

Ордината точки M називається синусом кута α°, а абсциса точки M називається косинусом кута α°.

15

Функція y=sinx визначена на всій числовій прямій, є непарною і періодичною з періодом 2π.

Графік цієї функції можна побудувати таким же способом, як і графік функції y=cosx, починая з побудови, наприклад, на відрізку [0;π].

Однак простіше застосувати формулу sinx=cos(x−π2), яка показує, що графік функції y=sinx можна отримати зсувом графіка функції y=cosx уздовж осі абсцис праворуч на π2.

Крива, яка є графіком функції y=sinx, називається синусоїдою.

16

Властивості функції y=sinx

1. Область визначення – множина R всіх дійсних чисел.

2. Множина значень – відрізок [−1;1].

3. Функція y=sinx періодична з періодом T= 2π.

4. Функція y=sinx – непарна.

5. Функція y=sinx приймає:
– значення, яке дорівнює 0, при x=πn,n∈Z;
– найбільше значення, яке дорівнює 1, при x=π2+2πn,n∈Z;
– найменше значення, яке дорівнює −1, при x=−π2+2πn,n∈Z;
– додатні значення на інтервалі (0;π) і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на 2πn,n∈Z;

– від’ємні значення на інтервалі (π;2π) і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на 2πn,n∈Z;

6. Функція y=sinx

– зростає на відрізку

[−π2;π2] і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на 2πn,n∈Z;
– спадає на відрізку

[π2;3π2] і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на 2πn,n∈Z.

17

Функція y=cosx визначена на всій числовій прямій і множиною її значень є відрізок [−1;1].

Отже, графік цієї функції розташований в смузі між прямими y=−1 та y=1.

Функція y=cosx періодична з періодом 2π, тому досить побудувати її графік на якому-небудь проміжку довжиною 2π, наприклад на відрізку −π≤x≤π, тоді на проміжках, одержуваних зсувами вибраного відрізка на 2πn,n∈Z, графік буде таким же.

Функція y=cosx є парною. Тому її графік симетричний відносно осі Oy.

Для побудови графіка на відрізку −π≤x≤π досить побудувати його для 0≤x≤π, а потім симетрично відобразити його відносно осі Oy.

Графік функції y=cosx побудований на всій числовій прямій.

18

Властивості функції y=cosx

1. Область визначення – множина R всіх дійсних чисел.

2. Множина значень – відрізок [−1;1].

3. Функція y=cosx періодична з періодом 2π.

4. Функція y=cosx – парна.

5. Функція y=cosx приймає:

– значення, яке дорівнює 0, при x=π2+πn,n∈Z;;

– найбільше значення, яке дорівнює 1, при x=2πn,n∈Z;

– найменше значення, яке дорівнює −1, при x=π+2πn,n∈Z;

– додатні значення на інтервалі (−π2;π2) і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на 2πn,n∈Z;

– від’ємні значення на інтервалі (π2;3π2) і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на 2πn,n∈Z.

6. Функція y=cosx

– зростає на відрізку [π;2π] і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на 2πn,n∈Z;

– спадає на відрізку [0;π] і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на 2πn,n∈Z.

19

Точки A і C отримані поворотом точки (1;0) на кути α і −α відповідно.

Абсциси цих точок співпадають, а ординати відрізняються тільки знаками, sin(−α)=−sinα

cos(−α)=cosα.

Отже, функція y=sinx є непарною функцією, а y=cosx – парною функцією. Функція y=tgx=sinx/cosx, тому буде вірна рівність tg(−x)=−tgx, тобто функція y=tgx – непарна функція.

20

Функція y=f(x) називається періодичною, якщо існує таке число T≠0, що для будь-якого x з області визначення цієї функції виконується рівність f(x−T)=f(x)=f(x+T).

Число T називається періодом функції f(x).

З цього визначення випливає, що якщо x належить області визначення функції f(x), то числа x−T;x+T;x+Tn,n∈Z також належать області визначення цієї періодичної функції і f(x+Tn)=f(x),n∈Z.

Повернувши точку A навколо центру одиничного кола в додатному або від’ємному напрямі, помічаємо що вона повернеться до вихідного положення, тільки кут повороту буде на 2π більше або менше, але координати точки A залишаться тими ж, тобто

sinα=sin(α+2π);

cosα=cos(α+2π)

Отже, число 2π є найменшим додатним періодом для функцій y=sinx і y=cosx.

Число π є найменшим додатним періодом для функцій, тому що значення тангенса кута повороту буде повторюватися через π радіан

21

Функція y=tgx при x≠π2+πn,n∈Z є непарною і періодичною з періодом π.

Тому досить побудувати її графік на проміжку [0;π2)

Оберемо для побудови контрольні точки, через які проведемо плавну криву на координатної площині.

Потім, відобразивши її симетрично відносно початку координат, отримаємо графік на інтервалі (−π2;π2)

Використовуючи періодичність, будуємо графік функції y=tg x на всій області визначення.

Графік функції y=tg x називають тангенсоїдою.

Головною гілкою графіка функції y=tg x називають гілку, яка знаходиться в інтервалі (−π2;π2)

22

Властивості функції y=tgx

1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел x≠π2+πn,n∈Z

2. Множина значень – множина R всіх дійсних чисел

3. Функція y=tgx періодична з періодом π

4. Функція y=tgx непарна

5. Функція y=tgx приймає:

– значення 0, при x=πn,n∈Z;

– додатні значення на інтервалах (πn;π2+πn),n∈Z;

– від’ємні значення на інтервалах (−π2+πn;πn),n∈Z.

6. Функція y=tgx зростає на інтервалах (−π2+πn;π2+πn),n∈Z

23

Функція y=ctgx при x≠πn,n∈Z є непарною і періодичною з періодом π.

Міркуючи аналогічно, як при побудові графіка функції y=tg x, можна побудувати графік функції y=ctg x.

Графік функції y=ctg x, як і графік функції y=tg x, називають тангенсоїдою.

Головною гілкою графіка функції y=ctg x називають гілку від x=0 до x= π.

24

Властивості функції y=ctgx

1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел x≠πn,n∈Z

2. Множина значень – множина R всіх дійсних чисел

3. Функція y=ctgx періодична з періодом π

4. Функція y=ctgx непарна

5. Функція y=ctgx приймає:

– значення 0, при x=π2+πn,n∈Z;

– додатні значення на інтервалах (πn;π2+πn),n∈Z;

– від’ємні значення на інтервалах (−π2+πn;πn),n∈Z.

6. Функція y=ctgx спадає на інтервалах (πn;π+πn),n∈Z.

25

За визначенням арксинуса числа для кожного x∈[−1;1] визначене одне число y=arcsinx

Тим самим на відрізку [−1;1] задана функція y=arcsinx,−1≤x≤1

Функція y=arcsinx є оберненою до функції y=sinx, де −π2≤x≤π2

Тому властивості функції y=arcsinx можна отримати з властивостей функції y=sinx

Графік функції y=arcsinx симетричний графіку функції y=sinx, де −π2≤x≤π2 відносно прямої y=x

26

Основні властивості функції y=arcsinx

1. Область визначення – відрізок [−1;1]

2. Множина значень – відрізок [−π2;π2]

3. Функція y=arcsinx – зростає.

4. Функція y=arcsinx є непарною, оскільки arcsin(−x)=−arcsinx

27

За визначенням арккосинуса числа для кожного x∈[−1;1] визначене одне число y=arccosx

Тим самим на відрізку [−1;1] визначена функція y=arccosx, де−1≤x≤1.

Функція y=arccosx є оберненою до функції y=cosx, де0≤x≤π

Графік функції y=arccosx симетричний графіку функції y=cosx, де 0≤x≤π відносно прямої y=x

28

Основні властивості функції y=arccosx

1. Область визначення – відрізок [−1;1]

2. Множина значень – відрізок [0;π]

3. Функція y=arccosx спадає

29

За означенням арктангенса числа для кожного дійсного x визначене одне число y=arctgx

Тим самим на всій числовій прямій визначена функція y=arctgx,x∈R.

Ця функція y=arctgx є оберненою до функції y=tgx,де−π2<x<π2

Графік функції y=arctgx симетричний графіку функції y=tgx,де−π2<x<π2 відносно прямої y=x

30

Основні властивості функції y=arctgx

1. Область визначення – множина R всіх дійсних чисел

2. Множина значень – інтервал (−π2;π2)

3. Функція y=arctgx зростає.

4. Функція y=arctgx є непарною, оскільки arctg(−x)=−arctgx

Функції y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx називаються оберненими тригонометричними функціями.

31

Функція y=ctgx монотонна на кажному з наступних інтервалів: (−π;0),(0;π), (π;2π) і т.д.

Отже, на кожному із зазначених проміжків функція y=ctgx має обернену функцію.

Це різні обернені функції, але вибирають функцію, обернену до функції y=ctgx, де x∈(0;π)

Її позначають y=arcctgx, тобто функцію, обернену до функції y=ctgx, де x∈(0;π).

Тому, графік функції y=arcctgx можна отримати з графіку функції y=ctgx, x∈(0;π) за допомогою перетворення симетрії відносно прямої y=x.

32

Властивості функції y=arcctgx

1. D(f)=(−∞;+∞)

2. E(f)=(0;π)

3. Функція не є ні парною, ні непарною, оскільки графік функції не симетричний ні відносно початку координат, ні відносно осі y.

4. Функція спадає.

5. Функція безперервна.

arcctga – це таке число з інтервала (0;π), котангенс якого дорівнює a

Отже, arcctga=t⇔{ctgt=a,0<t<π;ctg(arcctga)=a

Для арккотангенса має місце співвідношення, аналогічне для арккосинуса

arcctg(−a)=π−arcctga

33

Кажуть, що функція y=f(x), x∈X має період T, якщо для будь-якого x∈X виконуються рівності f(x−T)=f(x)=f(x+T).

Функцію, що має відмінний від нуля період T, називають періодичною.

Якщо функція y=f(x), x∈X має період T, тоді будь-яке число, кратне T, також є її періодом.

Періодична функція має нескінченну кількість різних періодів.

Найменшим додатнім періодом функції називається найменше з додатних чисел T, які є періодом даної функції.

Прикладом періодичних функцій можуть служити тригонометричні функції y=sin x, y=cos x (Т=2π), y=tg x (Т= π) та інші. Функція y=cons t також є періодичною. Для неї періодом є будь-яке число T≠0

Графік періодичної функції будують на проміжку [x0;x0+T), а потім повторюють на всю область визначення.

34