ВСТУП

Характерною особливістю курсу шкільної математики, яку ви вивчали до цього часу, є визначеність невідомих. Так, об’єм куба визначається довжиною його ребра, площа круга – його радіусом,  шлях, пройдений тілом – його швидкістю та часом тощо. Але в житті доводиться мати справу з подіями, що залежать від обставин. Наприклад, не можна передбачити, на який білет випаде виграш у майбутньому тиражі лотереї, скільки зерен матиме колос, що виріс із висіяної зернини, хто стане переможцем олімпіади з певного виду спорту тощо.

Ви знаєте, що перед початком футбольного матчу суддя шляхом жеребкування визначає, яка з команд повинна розпочати гру з центра поля.  Жеребкування проводиться за допомогою монети: один з капітанів команд вибирає “число”

чи “герб”, суддя підкидає монету; якщо капітан відгадав, що випаде, то гру розпочинає його команда, якщо ні – команда суперників.

Взагалі, людська діяльність – це неперервний процес прийняття рішень в обставинах невизначеності чи випадковості:

• Яку встановити ціну, щоб продати товар і отримати прибуток?
• Яким повинен бути внесок при страхуванні, щоб страхова компанія не мала збитків?

З такими та подібними їм запитаннями люди постійно стикаються в повсякденному житті. Тому варто вміти працювати з випадковими явищами і використовувати їх у житті та наукових дослідженнях тощо.

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТІ ВИПАДКОВА ПОДІЯ

 Будь-яка точна наука вивчає не самі явища, що відбуваються в природі, а їх математичні моделі. У математичних задачах часто розглядаються явища, які, залежно від певних умов, можуть або відбутися, або не відбутися. Такі явища називають випадковими.

   Теорія ймовірностей — математична наука, що вивчає закономірності випадкових явищ.

   Нехай проводиться певний дослід (експеримент, спостереження, випробування тощо), результат якого передбачити неможливо. Такі досліди в теорії ймовірностей називають випадковими. При цьому доцільно проводити

лише такі досліди, які можна повторити, хоча б теоретично, за одних і тих самих умов довільну кількість разів.

Випадковими дослідами є, наприклад, підкидання монети чи грального кубика, купівля лотерейного квитка, стрільба по мішені тощо.

Отже, випадковий дослід — це дослід (експеримент, спостереження, випробування), результат якого залежить від випадку і який можна повторити багато разів за одних і тих самих умов.

Результатом випадкового досліду є випадкова подія.

   Випадкова подія – це подія, яка за одних і тих самих умов може відбутися, а може й не відбутися.

Прикладами випадкових подій є «випадіння одиниці при підкиданні грального кубика», «випадіння аверса при підкиданні монети», «виграш 10 грн при купівлі лотерейного

квитка» тощо. Такі події, як «закипання води при її нагріванні до 100 °С» або «зменшення довжини дроту при його охолодженні» не можна назвати випадковоми, бо вони є закономірними.

Випадкові події, як правило, позначають великими латинськими літерами: А, В, С, D,… .

   Приклад 1. У ящику є лише білі й чорні кульки. З нього навмання виймають одну кульку. Які з подій А, В, С, D при цьому можуть відбутися:

А — вийнято білу кульку;

В — вийнято чорну кульку;

С — вийнято зелену кульку;

D — вийнято кульку?

   Розв’язання. Оскільки з ящика можна вийняти лише
те, що в ньому є, то вийняти білу або чорну кульку можна,
а зелену — ні. Можна також стверджувати, що будь-який

предмет, який навмання виймають з ящика, буде кулькою,

оскільки там немає нічого, окрім кульок. Отже, події А і В можуть відбутися (а можуть і не відбутися); подія С не може відбутися, а подія D обов’язково відбудеться.

   Відповідь. А, В, D.

   Подію, яка за даних умов обов’язково відбудеться, називають вірогідною.

   Подію, яка за даних умов ніколи не відбудеться, називають неможливою.

У прикладі 1 події А і В — випадкові, D — вірогідна подія, С — неможлива подія.

ЧАСТОТА ПОДІЇ. ВІДНОСНА ЧАСТОТА ПОДІЇ

   Приклад 2. Нехай проводиться деякий випадковий дослід, наприклад певний стрілець робить постріли по мішені. Нас цікавить, як математично оцінити шанси стрільця влучити в мішень за одних і тих самих незмінних умов.

Щоб це з’ясувати, розглянемо поняття частоти події та відносної частоти події.

Якщо за незмінних умов проведено n випадкових дослідів і в n(А) випадків подія А відбулася, то число n(А) називають частотою події А, а відношення n(А)/n — відносною частотою події А.

  Приклад 3. Дослід полягає в підкиданні кубика 150 разів

поспіль. Нехай випадкова подія А – випадання

шістки. Під час досліду ця подія відбулася 24 рази. Число

24 є частотою події А, а відношення 24/150 = 4/25 = 0,16  є відносною частотою події А.
Відносна частота події зміниться, якщо зміниться кількість дослідів або буде проведено іншу серію дослідів за тих самих умов.

   Приклад 4. Різні вчені в різні роки проводили дослід, який

полягав у багаторазовому підкиданні монети, та розглядали подію А — випадання аверса. Результати цих дослідів систематизовано в таблицю.

Зрозуміло, що монети в дослідах різних учених були різними, але сам дослід і подію, яку вони розглядали, можна вважати однаковими. Ці досліди, проведені різними вченими в різні епохи в різних країнах, дають приблизно один і той самий результат: відносна частота події А близька до числа 0,5. У даному випадку число 0,5 називають статистичною ймовірністю події.

     Якщо під час проведення досить великої кількості випадкових дослідів значення відносної частоти випадкової події А є близьким до деякого певного числа, то це число називають статистичною ймовірністю події А.

Ймовірність прийнято позначати латинською літерою р
(перша літера французького слова probabilite та латинського probabilitas, що перекладається як

«можливість», «ймовірність»). Отже, для прикладу 4 можна записати:

Р(А) = 0,5, або р = 0,5.

   Доходимо висновку, що

     Ймовірність випадкової події можна знайти з досить великою точністю, якщо випадковий дослід проводити велику кількість разів. Що більше проведено дослідів, то ближчим є значення відносної частоти випадкової події до ймовірності цієї події.

Повернемося до питання, сформульованого у прикладі 2,
тобто до математичної оцінки шансів стрільця влучити в
мішень. Тепер зрозуміло, що таку математичну оцінку дає
ймовірність. Для того щоб оцінити ймовірність влучення
стрільцем у мішень (подія А), необхідно, щоб він зробив достатньо велику кількість пострілів.

Тоді відносну частоту події А можна буде вважати ймовірністю влучення стрільця в мішень. Нехай, наприклад, протягом певного періоду зроблено 1000 пострілів, з яких 781 виявився влучним. Тоді відносну частоту 781/1000 = 0,781 можна вважати ймовірністю влучення цього стрільця в дану мішень.

Якщо відома ймовірність події А, то можна приблизно оцінити, скільки разів подія А відбудеться, якщо зробити певну кількість дослідів.

     Приклад 5. Ймовірність влучання стрільця в мішень дорівнює 0,781. Скільки приблизно влучних пострілів буде в цього стрільця в серії з 50 пострілів?

     Розв’язання. Нехай у серії з 50 пострілів влучили

х разів. Тоді х/50 — відносна частота влучних пострілів. Якщо вважати, що відносна частота влучень приблизно

дорівнює ймовірності, то х/50 = 0,781, тобто х ≈ 39.

     Відповідь. 39 влучних пострілів.