Чотирикутники

by Viktoriia

Joined May 2025
Published Books 1

Вступ

Чотирикутники – це особливий тип багатокутника. Як і у випадку з трикутниками та іншими багатокутниками, чотирикутники мають особливі властивості і можуть бути класифіковані за характеристиками їх кутів і сторін. Розуміння властивостей різних чотирикутників може допомогти вам у вирішенні задач, що стосуються цього типу багатокутників.

Визначення чотирикутника

Виділення назви «чотирикутник» допомагає зрозуміти, до чого воно відноситься. Приставка «квад-» означає «чотири», а «бічний» походить від латинського слова «сторона». Таким чином, чотирикутник – це чотиристоронній багатокутник.

Оскільки це багатокутник, ви знаєте, що це двовимірна фігура, що складається з прямих сторін. Чотирикутник також має чотири кути, утворені чотирма його сторонами. Нижче наведено кілька прикладів чотирикутників. Зверніть увагу, що кожна фігура має чотири прямі сторони і чотири кути.

$Знімок екрана 2021-05-06 о 2.31.48 PM.png$

2

Внутрішні кути чотирикутника

Сума внутрішніх кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360 ^о. Розглянемо два приклади нижче.

$Знімок екрана 2021-05-06 о 2.35.55 PM.png$

Периметр — сума довжин усіх сторін чотирикутника.

Специфічні типи чотирикутників

Почнемо з розгляду групи чотирикутників, які мають дві пари паралельних сторін. Ці чотирикутники називаються паралелограмами. Вони приймають найрізноманітніші форми, але один класичний приклад показаний нижче.

$Знімок екрана 2021-05-06 о 2.48.26 PM.png$

3

Чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.

Властивості паралелограма

1. Протилежні сторони паралелограма рівні:

AB=DC, BC=AD

2. Протилежні кути паралелограма рівні:

∠A= ∠C, ∠B= ∠D

4

3. Діагоналі паралелограма діляться навпіл точкою перетину:

BO=OD, AO=OC

4. Діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники: ABC і CDA.

5

5. Сума кутів, прилеглих до кожної сторони паралелограма, дорівнює 180°.

∠A + ∠D = 180°

6. Різносторонні кути при діагоналі рівні:

∠BAC= ∠ACD, ∠BCA= ∠CAD

6

Ознаки паралелограма дозволяють визначити, чи є чотирикутник паралелограмом.

Ознаки паралелограма

1. Чотирикутник є паралелограмом, якщо його протилежні сторони попарно рівні.

2. Чотирикутник є паралелограмом, якщо його діагоналі перетинаються й діляться навпіл точкою перетину.

3. Чотирикутник є паралелограмом, якщо дві його сторони паралельні та рівні.

Завдання

Завдання №1. Визнач, чи є чотирикутник зі сторонами 4 м, 4 м, 6 м, 6 м паралелограмом.

Відповідь: ні, оскільки невідомо, чи є рівні сторони протилежними.

Завдання №2. Визнач, чи є чотирикутник паралелограмом, якщо по черзі взяті сторони дорівнюють 4 м, 6 м, 4 м, 6 м.

Відповідь: так (за першою ознакою).

7

Паралелограм є загальною формою для ромба, прямокутника і квадрата. Усі вони — його особливі випадки.

Формула площі паралелограма: S=a*h
Формула периметра: P=2(a+b), де a, b — сторони, h — висота.

Завдання

1.Обчисли периметр цього паралелограма

Приклад обчислення периметра паралелограма

Використаємо формулу та помножимо сторону a та сторону b на 2:P=2⋅3см+2⋅4см=6см+8см=14см

8

2.Обчисли площу цього паралелограма

Приклад обчислення площi паралелограма

Можна знайти площу паралелограма, використовуючи наведену вище формулу:

S=4см⋅5см=20см^2

9

Прямокутник

Є два особливих випадки паралелограму, які вже можуть бути вам знайомими. Перший особливий випадок називається прямокутником. За визначенням прямокутник – це паралелограм, оскільки його пари протилежних сторін паралельні. Прямокутник також має особливу характеристику, що всі його кути є прямими; всі чотири його кути дорівнюють 90 градусів.

$Знімок екрана 2021-05-06 о 2.57.28 PM.png$

Його основні властивості:

• протилежні сторони рівні та паралельні,
• усі кути по 90°,
• діагоналі рівні,
• діагоналі не перетинаються під прямим кутом.

10

Формула площі прямокутника: S=a*b
Формула периметра: P=2(a+b), де a, b — сторони.

Квадрат

Інший особливий випадок паралелограма – це особливий тип прямокутника, квадрат. Квадрат – одна з найосновніших геометричних фігур. Це особливий випадок паралелограма, який має чотири рівні сторони та чотири прямі кути.

$Знімок екрана 2021-05-06 о 2.59.30 PM.png$

У ньому:
*усі сторони однакові,
*усі кути по 90°,
*діагоналі рівні, перетинаються під прямим кутом і ділять одна одну навпіл,
*діагоналі — бісектриси кутів,

11

Формула площі: S=a^2
Формула периметра: P=4a, де a — довжина сторони.

Завдання

1.Знайди площу прямокутника зі сторонами:
1) 15 дм і 30 дм; 2) 17 дм і 2 м.
2. Знайди площу квадрата, якщо його сторона дорівнює:
1) 9 мм; 2) 13 см; 3) 7 м.
3. Обчисли площу квадрата, сторона якого дорівнює:
1) 12 м; 2) 15 см.
4. Одна зі сторін прямокутника — 13 см, а інша — на 3 см коротша. Знайди площу прямокутника.
5. 1) Одна сторона прямокутника дорівнює 15 см, а інша — на 3 см менша від неї. Знайди площу прямокутника.
2) Одна сторона прямокутника дорівнює 8 дм, а інша — у 5 разів більша за неї. Знайди площу прямокутника.
6.Знайди площу квадрата, периметр якого дорівнює 36 см.

12

7.Площа прямокутника дорівнює 840 см², одна з його сторін дорівнює 35 см. Знайди іншу сторону.
8. У двокімнатній квартирі ширина кожної кімнати 4 м, а довжина — 4 м і 5 м.
1) Скільки квадратних метрів ламінату потрібно придбати, щоб повністю замінити підлогу в цих кімнатах?
2) У яку суму обійдеться така заміна підлоги, якщо 1 м² ламінату коштує 410 грн?
9. Сторони металевого листа прямокутної форми дорівнюють 9 дм і 8 дм, а сторона квадратного металевого листа — 10 дм. Ці два листи розрізали на квадрати, площа кожного з яких — 1 дм². Скільки металевих квадратів отримали?

13

Ромб

Ромб — це особливий випадок паралелограма, який не завжди має прямі кути, на відміну від квадрата.

У ньому: • усі сторони однакової довжини,
• протилежні кути рівні,
• діагоналі перетинаються під прямим кутом і ділять одна одну навпіл,
• діагоналі є бісектрисами кутів

$Знімок екрана 2021-05-06 о 3.01.01 PM.png$

Формула площі: S=(d1*d2)/2 або S=a*h
Формула периметра: P=4a, де a — довжина сторони, d1, d2 — діагоналі, h — висота.

14

Трапеція

Існує ще один особливий тип чотирикутника. Цей чотирикутник має властивість мати тільки одну пару протилежних сторін, які паралельні. Ось один із прикладів трапеції.

$Знімок екрана 2021-05-06 о 3.23.34 PM.png$

Основні властивості:

• має дві основи (паралельні сторони) і дві бічні сторони (непаралельні),
• сума кутів при кожній бічній стороні дорівнює 180°,
• може бути рівнобічною (якщо бічні сторони рівні) або прямокутною (якщо один кут прямий),
• діагоналі не обов’язково рівні, але у рівнобічній трапеції вони рівні.

15

Формула площі: S=((a+b)*h)/2
Формула периметра: P=a+b+c+d, де a, b, c, d — сторони, h — висота.

Наведена нижче таблиця узагальнює особливі типи чотирикутників і деякі їх властивості.

Назва чотирикутника	Чотирикутник	Опис
Паралелограм	$Знімок екрана 2021-05-07 в 1.49.34 PM.png$	2 пари паралельних сторін. Протилежні сторони і протилежні кути конгруентні.
Прямокутник	$Знімок екрана 2021-05-07 в 1.49.53 PM.png$	2 пари паралельних сторін. 4 прямих кута (90 ^о). Протилежні сторони паралельні і конгруентні. Всі кути конгруентні.
Квадрат	$Знімок екрана 2021-05-07 о 1.50.09 PM.png$	4 конгруентні сторони. 4 прямих кута (90 ^о). Протилежні сторони паралельні. Всі кути конгруентні.
Трапеція	$Знімок екрана 2021-05-07 о 1.50.28 PM.png$	Тільки одна пара протилежних сторін паралельна.

16