Квадратні рівняння

Вступ

Квадратні рівняння — одна з фундаментальних тем шкільного курсу математики. Вони лежать в основі алгебри, геометрії, фізики, інформатики та багатьох інших наук. У цій невеликій навчальній книзі зібрано найважливіші теоретичні відомості, приклади різних типів, алгоритми розв’язання та практичні вправи.

Книга створена для учнів 7–9 класів та всіх, хто хоче структурувати знання або підготуватися до контрольних робіт, ДПА чи ЗНО.

Теорія

Що таке квадратне рівняння

Квадратним рівнянням називають рівняння вигляду: ax2+bx+c=0,

де

• a,b,c— числа,

• a≠0

Вигляд параболи

Графіком квадратної функції є парабола.

Дискримінант

Корені квадратного рівняння знаходять за формулою:

x=(−b±sqrt(D))/2a​​,

де дискримінант:

D=b2−4ac.D = b^2 – 4ac.D=b2−4ac.

Кількість коренів

• Якщо D > 0 → два різних корені.

• Якщо D = 0 → один корінь.

• Якщо D < 0 → коренів немає.

Неповні квадратні рівняння

1. bx + c = 0, якщо a = 0 — НЕ квадратне.

2. ax² + c = 0

   x=±sqrt(−c/a)​​

3. ax² + bx = 0

   x(ax+b)=0⇒ x1=0, x2=−b/a

Теорема Вієта

Для рівняння:

x^2 + px + q = 0

корені задовольняють:

x1+x2=−p,x1x2=q

Приклади розв’язання

Приклад 1. Звичайне квадратне рівняння

2x^2 – 3x – 2 = 0

Розв’язання:

D=(−3)^2−4⋅2⋅(−2)=9+16=25

x1,2=(3±5)/4

x1=2,x2=−1/2​

Приклад 2. Неповне квадратне рівняння

5x^2 – 20=0

5x^2 = 20

x^2 = 4

x=±2

Приклад 3 (теорема Вієта)

x^2 – 7x + 10 = 0

Шукаємо два числа, сума яких 7, а добуток 10:
це 2 і 5.

x1=2,x2=5

Текстові задачі

Приклад 1.

Площа прямокутника дорівнює 48. Одна сторона на 4 більше за іншу. Знайти сторони.

Розв’язання:

Нехай менша сторона —$x$, тоді більша —$x+4$.

x(x+4)=48x

x^2 + 4x – 48 = 0

D=16+192=208

x=−2±2sqrt(13)​

Беремо додатній корінь:

x=−2+2sqrt(13)

Вправи для самостійної роботи

Вправа 1. Знайти корені рівняння

1. x^2 – 5x + 4 = 0

2. 3x^2 + 12x = 0

3. x^2 + 49 = 0

Вправа 2. За теоремою Вієта

4. x^2 – 3x – 10 = 0

5. x^2 + 2x – 15 = 0

Вправа 3. Текстові задачі

6. Добуток двох чисел — 21, а сума — 10. Знайти числа.

7. Площа квадрата 100. Знайдіть периметр.

Цікаві факти про квадратні рівняння

• Параболу використовують у телескопах і супутникових антенах.

• У фізиці рівняння другого степеня описують рух тіл зі швидкістю, що змінюється.

• У програмуванні формули квадратних рівнянь застосовують у комп’ютерній графіці.

Рекомендовані відео та ресурси

🎥 Відео-уроки:

1. Квадратні рівняння — проста теорія
   Квадратні рівняння

2. Формула дискримінанта
   Дискримінант

3. Теорема Вієта пояснення
   Теорема Вієта

🧮 Інтерактивний тренажер:

• Desmos графік параболи:
  https://www.desmos.com/calculator

Висновок

Квадратні рівняння — не лише формули, а потужний інструмент для опису реальних процесів. Досконале розуміння теми відкриває двері до вивчення фізики, економіки, інформатики та геометрії. Регулярна практика, тренажери та робота з графіками допоможуть сформувати впевнені знання та навички.