אחוזים

מהו האחוז?

 

אחוז הוא דרך להביע גודל יחסי של דבר מה, כמספר ממשי בצירוף הסימן “%” מימין לו. אחוז אחד הוא מאית השלם – 1/100, והשלם (1) הוא “מאה אחוז”.

באמצעות האחוז ניתן לבטא חלק מהשלם כמספר ממשי כלשהו, בין 0 לבין 100 אחוזים (למשל: חצי מהשלם הם 50%). עם זאת, מספר באחוזים יכול להיות גדול מ-100. למשל, 200% ממספר הם כפליים המספר האמור. זוהי למעשה הוספה של 100%, בעוד שהוספה של 200%% תניב מספר הגדול פי שלושה מהערך המקורי. כך ניתן לראות את הקשר בין עלייה באחוזים לעלייה בהכפלה.

התו המסמל אחוז, “%”, הוא סימון מעוצב של שני אפסים. הוא התפתח מסמל דומה שכלל קו מאוזן במקום זה האלכסוני (1650 לערך).

נזכיר שאחוז היא צורת ייצוג נוספת אחרת של חלק יחסי מתוך שלם.

הקבוצה השלימה המיוצגת על-ידי שבר בעזרת המספר 1 (או השבר 1/1) מיוצגת בסולם האחוזים בעזרת המספר 100 המלווה בסימן האחוז. מכאן ש-
• יחידה של אחוז אחד שווה לשבר 1/100
• כדי להמיר חלק יחסי מייצוג של שבר חסר יחידות לייצוג של מספר ביחידות של אחוזים יש להכפיל את השבר ב- 100.
• כדי להמיר חלק יחסי מייצוג של מספר ביחידות של אחוזים לייצוג של שבר חסר יחידות יש לחלק את המספר ב- 100.

לדוגמה,

חצי כיכר לחם = 1/2 כיכר לחם = 50% כיכר לחם
שמינית עוגה = 1/8 עוגה = 12.5% עוגה
שליש מהתלמידים =1/3 מהתלמידים = 33.33% מהתלמידים
בעיות הכוללות ייצוג של חלק יחסי בעזרת סולם של אחוזים דומות מאוד לבעיות הכוללות ייצוג של חלק יחסי בעזרת שברים.

הנה מספר דוגמאות לבעיות הכוללות שימוש באחוזים.

דוגמה ראשונה

בכיתה ישנם 36 תלמידים. אחוז הבנים בכיתה גדול ב-25% מאחוז הבנות בה. כמה בנים יש בכיתה?

כדי לפתור את הבעיה נמלא את הטבלה הבאה,

 

	מספר בנים	מספר בנות	סה”כ	חלק הבנים	חלק הבנות
כיתה			36

נסמן דווקא את מספר הבנות כנעלם x. נוח יותר לבחור במספר הבנות כנעלם x, למרות שמספר הבנים הוא הנעלם המבוקש. נשלים את הטבלה בהתאם ונקבל,

 

	מספר בנים	מספר בנות	סה”כ	חלק הבנים	חלק הבנות
כיתה	36 – x	x	36	(36-x)/36	x/36

 

(36-x)/36 = (1 + 25%) • x/36
(36-x)/36 = (1 + 25/100) • x/36
(36-x)/36 = 1.25 • x/36
36 – x = 1.25x
36 = 2.25x
x = 16
מספר הבנות בכיתה הוא 16 ומספר הבנים הוא 20.

 

א. הפכו את האחוזים הבאים לשברים פשוטים ולשברים עשרוניים:

 

1) 95 %               6) 1.75 %

2) 625 %             7) 2 %

3) 0.05 %            8) 4¼ %

4) 0.70 %            9) 8¾ %

5) 7.18 %          10) 0.19 %

 

ב. הפכו את המספרים הבאים לאחוזים:

 

1) 0.06                 6) 34¼

2) 3.75                 7) 0.074

3) 8                      8) 9.07

4) 0.07256           9) ½

5) ¾                   10) 0.009

 

ג. בעיות אחוזים

 

1. סוחר מכר סחורה בהפסד של 24%.

א. בכמה מכר את הסחורה באחוזים?

ב. בהנחה שמחיר הסחורה ההתחלתי היה 1000 ₪. כמה קיבל לאחר המכירה בעקבות ההפסד?

 

2. מחיר נעליים התייקר פעמיים וכל פעם ב – ½ מהמחיר הקודם.

א. מה מחיר הנעליים באחוזים לאחר שתי ההתייקרויות?

ב. בהנחה שמחיר הנעליים ההתחלתי היה 80 ₪. מה מחירה לאחר שתי ההתייקרויות?

 

3. ביה”ס אוסף בקבוקים ופחיות למיחזור. 1/2 מהפריטים למיחזור היו בקבוקי פלסטיק. 3/7 מהפריטים היו פחיות והשאר היו בקבוקי זכוכית.

א. איזה אחוז מהמיחזור היו בקבוקי הזכוכית?

ב. בהנחה שהיו 280 פריטים סה”כ למיחזור. כמה בקבוקי זכוכית היו, כמה בקבוקי פלסטיק היו וכמה פחיות היו?

 

4. מחיר הטלויזיה ירד ב – ¼.

א. מה מחיר הטלויזיה באחוזים לאחר ההוזלה?

ב. אם הטלויזיה נקנתה ב – 1236 ₪. מה היה מחירה ההתחלתי?

 

5. בחצר ביה”ס 5/8 מהעצים הם עצי פרי.

א. כמה אחוזים מן העצים בחצר הם עצי סרק (שאינם נותנים פרי)?

ב. כמה עצי פרי וכמה עצי סרק יש בחצר בביה”ס אם סה”כ יש 64 עצים?

 

ד. מצאו את תמורת האחוז:

1)  % ½1 מ-200                      6) % ½11 מ- 600

2) % ¼3 מ- 72                        7) % ¼8 מ- 200

3) % 25 מ- 120                       8) % 15 מ- 45

4) % 10 מ- 85                         9) % 0.05 מ- 1500

5) % 4.05 מ- 415                  10) % 99 מ- 1100

 

ה. בעיות אחוזים:

1. במסיבה היו 800 אורחים. בשעה הראשונה עזבו 30% מהאנשים ובשעה השניה עזבו 2/7 מן האנשים שנותרו. כמה אנשים נותרו לאחר השעה השניה?

 

2. במבחן בחשבון היו 80 תרגילים. יואב הצליח לפתור 82.5% מהתרגילים ואיתי הצליח לפתור 40% מהתרגילים. כמה תרגילים הצליח יואב לפתור יותר מאיתי?

 

3. א. בחנות מסויימת מכרו מכונות כביסה שמחיר כל אחת מהן 2300 ₪ ובחודש ינואר התייקר המחיר ב-40%. בכמה נמכרה מכונת כביסה אחת לאחר ההתייקרות?

ב. בחודש פברואר מכרו את אותן מכונות הכביסה לאחר הנחה של 40% מהמחיר החדש לאחר ההתייקרות. בכמה נמכרה מכונת כביסה אחת בחודש פברואר?

 

4. למסעדה הביאו ארבעה שקים של תפו”א. בכל שק היו 45 ק”ג תפו”א ביום הראשון השתמשו ב- 30% מהתפו”א. וביום השני השתמשו ב-27 ק”ג תפו”א. כמה שקי תפו”א שלמים נותרו?

 

*5. בפינת החי היו שלושה ארנבונים קטנים וחמישה ארנבונים גדולים. שלושת הארנבונים הקטנים נמכרו במחיר של 25 ₪ לכל ארנבון. בסופו של דבר כל הארנבונים נמכרו בסך של 225. בכמה אחוזים היה גבוה מחיר הארנבונים הגדולים ממחיר הארנבונים הקטנים?

 

ו. כתבו >, <, = מבלי לפתור ונמקו את תשובתכם:

 

1. 25% של 40 ___ 25% של 30
2. 32% של 40 ___ 0.32% של 40
3. 32% של 30 ___ 16% של 60

*4 % 150 של 40 ___ 75% של 80

*5 מה המשותף לשני התרגילים האחרונים 4,3 (פרט לשוויון או האי שוויון)?

 

כנסו למשימה הבאה ובצעו את  המשימות

 

http://mybag.ebag.cet.ac.il/content/player.aspx?manifest=%2fapi%2fmanifests%2fitem%2fhe%2f214c003a-493c-4f15-9a4e-e6c4c92d7d0c