ВИЗНАЧЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ПЕРЕРІЗІВ

Опір стержня різним видам деформації часто залежить не тільки від його матеріалу та розмірів, але й від окреслень вісі, форми поперечних перерізів та їх розташування. Числові величини, які визначають розміри, форму, розташування поперечного перерізу називаються геометричними характеристиками перерізу. До них відносять:

• площа плоского поперечного перерізу;
• статичні моменти плоского перерізу;
• осьові, відцентровий та полярний моменти інерції перерізу;
• осьові та полярний моменти опору;
• радіуси інерції.

Площа поперечного перерізу використовується при визначенні напружень та деформацій під час розтягу чи стиску.

Статичний момент площі використовується при визначенні координат центра ваги перерізу, а також при визначенні дотичних напружень у брусі при згині по формулі Журавського.

Осьові моменти інерції використовуються при визначенні напружень та деформацій у брусі при згині, а також при визначенні критичної сили в розрахунках на стійкість стержнів.

Полярний момент інерції використовується при розрахунках елементів конструкцій на кручення і характеризує опір перерізу повороту навколо полюса (початку координат).

Відцентрові моменти інерції використовуються при визначенні напрямків максимальної і мінімальної жорсткості елемента конструкції.

Моменти опору використовуються при визначенні напружень під час згину балок та крученні валів.

Радіуси інерції використовуються при визначенні гнучкості стиснутих стержнів.

Уявимо собі брус, що розтягується силою F (див. рис. 1.1).

Позначимо площу поперечного перерізу бруса літерою A. Чим більша площа A, тим більше навантаження F витримує брус. Таким чином, площа A є основною геометричною характеристикою, що визначає несучу здатність та деформативність елемента конструкції у випадках розтягу або стиску. Розмірність площі [м²], [см²], [мм²].

Площу поперечного перерізу елемента можна визначити інтегруванням:

                                    A=∫dA,                                      (1.1)

де dA – елемент площі.

Площу також визначають за відомими формулами або за допомогою приладів – планіметрів.

Розглянемо довільний поперечний переріз стержня (рис. 1.2) в координатних осях хоу та виділимо елемент площі dA з координатами (y, х). При цьому dA=dxdy.

Аналогічно до виразу для моменту сили відносно будь-якої осі, можна скласти вираз і для моменту площі, котрий називається статичним моментом площі. Так, добуток елемента площі dA на відстань у до осі ох

dS_x=ydA                           (1.3)

називається статичним моментом елемента площі dA відносно осі ох.

Аналогічно вираз

dS_у=ydA                   (1.4)

є статичним моментом елемента площі dA відносно осі оу.

Таким чином, статичний момент площі перерізу відносно осі, що розглядається, називається сума по всій площі перерізу добутків елементарних площадок на відстань до розглядуваної осі.

Статичний момент площі має розмірність [м³], [см³], [мм³].

Слід пам’ятати, що відстань до осі Х – це координата у, а відстань до осі Y – це координата х. Координати мають знак, тому статичний момент площі перерізу може бути додатнім, від’ємним і дорівнювати нулю, що залежить від знаку координат.

Осьовим моментом інерції площі перерізу (або другим моментом площі перерізу) відносно осі, що розглядається, називається сума по всій площі перерізу добутків елементарних площадок на квадрат відстані до розглядуваної осі.

Відповідно осьовими моментами інерції для площі перерізу, показаного на русунку 1.2, відносно осей х та у будуть інтегральні вирази:

I_x=∫y²dA              та                  I_у=∫х²dA.            (1.5)

Осьові моменти інерції мають розмірність [м⁴], [см⁴], [мм⁴].

Як правило, формули або значення осьових моментів інерції простих форм поперечних перерізів (прямокутника, круга, прокатних профілів тощо) беруться з довідкової літератури.

Полярним моментом інерції площі перерізу відносно даної точки (полюса) називається сума по всій площі перерізу добутків елементарних площадок на квадрат відстані до полюса.

I_р=∫р²dA                                    (1.6)

Тобто, полярний момент інерції площі перерізу відносно точки перетину двох перпендикулярних осей (полюса) дорівнює сумі осьових моментів інерції. Має розмірність [м⁴], [см⁴], [мм⁴] і завжди додатній.

Відцентровим моментом інерції площі перерізу відносно двох взаємно перпендикулярних осей називається сума по площі перерізу від добутків елементарних площадок на відстані від центру ваги цієї площадки до відповідних осей.

I_ху=∫хуdA                                    (1.7)

Відцентровий момент інерції  може бути додатним, від’ємним і дорівнювати нулю, що залежить від знаків координат. Має розмірність [м⁴], [см⁴], [мм⁴].

Будь-який момент інерції відносно осі можливо виразити як добуток площі перерізу фігури на квадрат деякої відстані до цієї осі, яку називають радіусом інерції. Радіуси інерції перерізу можна відобразити графічно. Для цього в перерізі будують еліпс інерції .

Моментом опору називають відношення моменту інерції до відстані від центру ваги перерізу до найвіддаленішої точки перерізу.