Системи числення

by Oleg Tsiupa

Joined May 2020
Published Books 1

Системи числення:

-Система числення Стародавнього світу

-Римська система числення. Подання чисел в ній і рішення арифметичних задач.

-Історія десяткової системи числення.

-Застосування в цифровій електроніці двійковій,вісімковій та шістнадцятковій системи числення

Автор: Олег Цюпа

2

Системою числення, або нумерацією, називається сукупність правил і знаків, за допомогою яких можна відобразити (кодувати) будь-яке невід’ємне число. До систем числення висуваються певні вимоги, серед яких найбільш важливими є вимоги однозначного кодування невід’ємних чисел 0, 1,… з деякої їх скінченної множини — діапазону Р за скінченне число кроків і можливості виконання щодо чисел арифметичних і логічних операцій. Крім того, системи числення розв’язують задачу нумерації, тобто ефективного переходу від зображень чисел до номерів, які в даному випадку повинні мати мінімальну кількість цифр. Від вдалого чи невдалого вибору системи числення залежить ефективність розв’язання зазначених задач і її використання на практиці.

Розрізняють такі типи систем числення:

4

позиційні
змішані
непозиційні

У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу ${displaystyle b}$ , ${displaystyle b>1}$ , яке називається основою системи числення.

Наприклад, якщо b – натуральне число ( ${displaystyle b>1}$ ), то для представлення числа x у системі числення з основою b його подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:

${displaystyle x=sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}}$

Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.

5

Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою ${displaystyle b}$ і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, ${displaystyle {b_{k}}_{k=0}^{infty }}$ і кожне число $x$ представляється як лінійна комбінація:

{displaystyle x=sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}}

, де на коефіцієнти

{displaystyle a_{k}}

(цифри) накладаються деякі обмеження.

Якщо ${displaystyle b_{k}=b^{k}}$ для деякого ${displaystyle b}$ , то змішана система збігається з ${displaystyle b}$ -основною системою числення.

6

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.

Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій як цифри використовуються латинські букви:


Римська цифра	Десяткове значення
I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

7

Римська система числення, або Римські цифри — непозиційна система числення, що використовувалися стародавніми римлянами.

Вхід в сектор LII (52) Колізею з досі видимими цифрами

Дана система базується на використанні особливих знаків (літер латинської абетки) для десяткових розрядів I = 1, X = 10, С = 100, М = 1000 та їх половин V = 5, L = 50, D = 500. Натуральні числа записуються за допомогою повторення цих цифр. При цьому, якщо більша цифра стоїть перед меншою, то вони додаються (принцип додавання), якщо ж менша перед більшою, то менша віднімається від більшої (принцип віднімання). Останнє правило застосовується тільки для уникнення чотириразового повторення однієї цифри. Наприклад, I, X, С ставляться відповідно перед X, С, М для позначення 9, 90, 900 або перед V, L, D для позначення 4, 40, 400. Наприклад, VI = 5 + 1 = 6, IV = 5 – 1 = 4 (замість IIII). XIX = 10 + 10 – 1 = 19 (замість XVIIII), XL = 50 – 10 = 40 (замість XXXX), XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 тощо.

8

Походження

Дві руки мають десять пальців — ймовірна причина існування десяткового числення.

Серед систем числення багатьох стародавніх цивілізацій для представлення чисел використовували число десять і його степені, ймовірно саме тому, що на руках людей є десять пальців, а люди починали рахувати за допомогою пальців. Прикладом таких є Вірменська, Брахмі^[en], Грецька, Гебрайська^[en], Римська, і Китайська системи числення. В цих системах важко представити дуже великі числа, і лише найкращі математики могли ділити і множити великі числа. Ці труднощі повністю були вирішені із появою Індо-арабської системи числення для описання цілих чисел. Цю систему розширили до можливості задавати не тільки цілі числа, а і десяткові дроби.

9

Двійкова система числення
Для представлення чисел в процесорі використовується двійкова система числення.
При цьому будь-який цифровий сигнал може мати два стійких стану: «високий рівень» і «низький рівень». У двійковій системі числення для зображення будь-якого числа використовуються дві цифри, відповідно: 0 і 1. Довільний число x = anan-1..a1a0, a-1a-2 … a-m запишеться в двійковій системі числення як

x = an · 2n + an-1 · 2n-1 + … + a1 · 21 + a0 · 20 + a1 · 2-1 + a-2 · 2-2 + … + a-m · 2-m

де ai – двійкові цифри (0 або 1).

10

Вісімкова система числення
У вісімковій системі числення базисними цифрами є цифри від 0 до 7. 8 одиниць молодшого розряду об’єднуються в одиницю старшого.

Шістнадцяткова система числення
У шістнадцятковій системі числення базисними цифрами є цифри від 0 до 15 включно. Для позначення базисних чисел більше 9 одним символом крім арабських цифр 0 … 9 в шістнадцятковій системі числення використовуються літери латинського алфавіту:

1010 = A16 1210 = C16 1410 = E16
1110 = B16 1310 = D16 1 510 = F16.

Наприклад, число 17510 в шістнадцятковій системі числення запишеться як AF16. дійсно,

10 · 161 + 15 · 160 = 160 + 15 = 175

11

У таблиці представлені числа від 0 до 16 в десятковій, двійковій, вісімковій та шістнадцятковій системах числення.

Десятична	Двоїчна	Восмирічна	Шістнадцятирічна
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

12

У цифрових пристроях доводиться мати справу з різними видами інформації. Це в чистому вигляді двоичная інформація, така як включений прилад або вимкнений, справно пристрій чи ні. Інформація може бути представлена у вигляді текстів, і тоді доводиться літери алфавіту кодувати за допомогою двійкових рівнів сигналу. Досить часто інформація може являти собою числа. Числа можуть бути представлені в різних системах числення. Форма запису в них чисел істотно різниться між собою, тому, перш ніж перейти до особливостей подання чисел в цифровій техніці, розглянемо їх запис в різних системах числення.

13