La probabilità

Gli eventi e lo spazio campionario

L’esperimento aleatorio o casuale è ogni fenomeno il cui risultato non può essere previsto.

Es. Nel lancio di un dado gli esiti possibili sono i numeri compresi tra 1 e 6.

Lo spazio campionario è l’insieme S di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio.

Lo spazio campionario del lancio di un dado è:

S={ 1,2,3,4,5,6}

L’evento, indicato con E, è ogni sottoinsieme dello spazio campionario.

Un possibile evento nel lancio di un dado é:

E=<<esce un numero pari>>

E={2,4,6}

L’evento certo è l’intero spazio campionario.

E=<<esce un numero compreso fra 1 e 6>>={ 1,2,3,4,5,6}

L’evento impossibile è l’insieme vuoto.

E=<<esce 9>>=Ø

Gli eventi elementari sono i sottoinsieme costituiti da un solo elemento.

E=<<esce 6>>={ 6}

Gli eventi e gli spazi campionari si possono rappresentare graficamente attraverso:

il diagramma di Eulero Venn;

il diagramma ad albero;

la tabella a doppia entrata.

Le definizioni di probabilità

La probabilità classica  di un evento E è il rapporto fra il numero di casi favorevoli e il numero dei casi ugualmente possibili:

p(E)=numero dei casi favorevoli/numero dei casi ugualmente possibili=f/n

I casi favorevoli sono gli elementi del sottoinsieme dell’evento;

i casi possibili sono gli elementi dello spazio campionario.

La probabilità statistica di un evento E è il rapporto fra il numero delle prove favorevoli e il numero delle prove effettuate:

p(E)=numero delle prove favorevoli/ numero delle prove effettuate=f/n

La probabilità soggettiva di un evento è il grado di fiducia, espresso da un numero compreso fa 0 e 1, che una persona attribuisce al verificarsi dell’evento; è il rapporto  fra la somma P che la persona è disposta a pagare per ricevere la somma V se il caso si verifichi:

p(E)=P/V

Secondo la legge dei grandi numeri, al crescere del numero di prove, la probabilità statistica di un evento si avvicina sempre più al valore della probabilità classica.

I valori della probabilità

La probabilità di un evento certo è 1, poiché il numero dei casi favorevoli è uguale a quello dei casi possibili:

p=f/n=n/n=1

La probabilità di un evento impossibile è 0, poiché il numero dei casi favorevoli è 0:

p=f/n=0/n=0

La probabilità di un evento né impossibile né certo é un numero compreso fra 0 e 1 con gli estremi esclusi:

0/n<f/n<n/n=0<p<1

Se vengono considerati i tre casi insieme, la probabilità è compresa fra 0 e 1 con gli estremi inclusi:

0≤p≤1

Il valore della probabilità può essere espresso anche in termini percentuali.

Le operazioni con gli eventi

L’evento unione o somma logica degli eventi è quell’ evento che si verifica al verificarsi di almeno uno degli eventi dati.

L’evento è formato dagli eventi E_{1 ed} E_2, uniti dal connettivo “o”.

Si indica con E₁U E₂ che rappresenta l’unione dei due insiemi.

L’evento intersezione o prodotto logico degli eventi, è quell’evento che si verifica quando si verificano contemporaneamente gli eventi dati.

L’evento è formato dagli eventi E_{1 ed} E_2,uniti dal connettivo “e”.

Si indica con E₁∩ E_2, che rappresenta l’insieme intersezione.

Si dice evento contrario di un dato evento E, l’evento che consiste nel non verificarsi di E .     _
L’evento contrario di E si indica con E

I teoremi relativi al calcolo della probabilità

Due eventi si dicono incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi contemporaneo dell’altro.

Secondo il teorema della somma logica per eventi  incompatibili, la probabilità del loro evento unione E₁U E₂  

è uguale alla somma  delle loro probabilità:

p(E₁U E₂)=p(E₁) + p( E₂)

Due eventi si dicono compatibili se il verificarsi di uno non esclude il verificarsi dell’altro.

Secondo il teorema della somma logica per eventi compatibili, la probabilità del loro evento unione E₁U E₂ 

è uguale alla somma delle loro probabilità, diminuita della probabilità del loro evento intersezione.

p(E₁U E₂ )=p(E₁) + p( E₂) – p(E₁∩ E₂)

Secondo il teorema della probabilità dell’evento contrario, la somma della probabilità di un evento e di quella del suo evento contrario è 1:

_

p(E) + p(E)=1

La probabilità di E₁ condizionata a E₂ è la probabilità di E₁

calcolata nell’ipotesi che E₂

si sia verificato : p(E₁| E₂)

Due eventi sono dipendenti se p(E₁) è diversa dalla probabilità condizionata p(E₁| E₂) :

p(E₁)≠p(E₁| E₂)

Due eventi sono indipendenti se p(E₁) è uguale  dalla probabilità condizionata p(E₁| E₂) :

p(E₁)= p(E₁| E₂)