Подільність чисел by Yana Tsis - Illustrated by Яна - Ourboox.com
This free e-book was created with
Ourboox.com

Create your own amazing e-book!
It's simple and free.

Start now

Подільність чисел

by

Artwork: Яна

  • Joined Mar 2019
  • Published Books 4
Подільність чисел by Yana Tsis - Illustrated by Яна - Ourboox.com

Заняття № 1-2

Тема заняття. Подільність чисел. Властивості й ознаки подільності чисел.

Мета:

  • формування предметних компетентностей: сформувати знання про подільність чисел; сформувати вміння застосовувати властивості й ознаки подільності чисел до розв’язування вправ та задач;
  • формування ключових компетентностей: формувати вміння визначати мету навчальної діяльності, відбирати і застосовувати потрібні знання для досягнення мети, вживати в мовленні математичну термінологію; сприяти самовихованню інтересу до вивчення  математики, зацікавленості в пізнанні нового.
3

Математика — одна з найдревніших наук. Перші математичні уявлення і поняття людина формувала в глибокій давнині, розв’язуючи найпростіші задачі практичного характеру. Ускладнювалися форми трудової діяльності, і перед людиною поставали складніші задачі, для розв’язування яких вона формувала нові математичні поняття, створювала математичні теорії. Отже, математика розвивалася під впливом двох головних стимулів: потреб практичної діяльності людини і логіки розвитку самої математики.

У житті часто доводиться робити різні припущення, висловлювати той чи інший «прогноз». Людина, що знає арифметику, може за певними властивостями чисел, за певними ознаками визначити, чи поділитися будь-яке натуральне число без остачі на дане число, не виконуючи ділення. Для того  щоб вміти це робити, потрібно вивчити так звані ознаки подільності натуральних чисел, тобто такі властивості чисел, за якими можна з упевненістю встановити, чи поділитися одне число на інше, не проводячи самого ділення, яке часом буває трудомістким.

Наприклад, чи можна розділити порівну між 12 учнями 384 цукерки?

4

Епіграф заняття. «Математика – наука молодих. Інакше й не може бути. Заняття математикою – це така гімнастика розуму, для якої потрібна вся гнучкість і вся витривалість молодості.»                                                Н. Вінер

5

Протягом більше 25 століть задачі теорії чисел були улюбленою областю дослідження визначних математиків і багатьох тисяч дилетантів. В теорії чисел значне місце відводиться теорії подільності цілих чисел, зокрема цілих додатних натуральних чисел, висновки і результати вивчення якої поширюються і на цілі від’ємні числа.

Ще в Стародавній Греції, в так званій піфагорійській школі (6 ст. до н.е.), вивчалась подільність цілих чисел. Були відокремлені окремі підкласи цілих чисел, як наприклад, прості числа, складені, квадратні і тому подібні; вивчалася структура так званих досконалих (число а, рівне сумі своїх істинних дільників, тобто натуральних дільників, відмінних від самого а, називається досконалим) і дружніх чисел (якщо для двох чисел а і b сума істинних дільників кожного з них дорівнює іншому, то такі числа називаються дружніми). Було дано розвиток у цілих числах невизначеного рівняння x²+y²=z² (іншими словами,  був вказаний рецепт побудови прямокутних трикутників з цілочисельними сторонами).

Евклід у своїх «Началах» дав систематичну побудову теорії подільності. Він вперше запропонував теорему про однозначність розкладу натурального числа на прості множники, яка відіграє основну роль у теорії подільності цілих чисел, і з її допомогою побудував арифметику раціональних чисел. Евкліду

були відомі чотири досконалі числа: 6, 28, 496, 8128.

 

Подільність чисел, загальніших ніж цілі, було ретельно досліджено у 19 ст.,   починаючи   з   роботи   Гаусса про   властивості   гауссових   цілих   чисел, комплексних чисел вигляду а+ bі де a, b є Z – це звичайні цілі числа, а i

– це уявна одиниця.

Нагадаємо      основні           відомості        про      подільність     чисел та їх ознаки подільності.

6
Подільність чисел by Yana Tsis - Illustrated by Яна - Ourboox.com

Тестові завдання.

  1. У якій парі перше число є дільником другого?

а) 3 і 13;     б ) 7 і 39;     в ) 6 і 42;     г ) 11 і 111.

  1. На які з чисел ділиться число 140?

а) 3 і 4;      б ) 3 і 5;     в) 4 і 5;      г ) 3, 4 і 5.

  1. Які з чисел діляться на 13 і 25?

а ) 475;     б ) 4225;      в ) 6625;     г ) 5335.

  1. Який найменший простий дільник має число 91? а) 1; б ) 9;     в ) 7;   г )
  2. Які з чисел діляться на 2, 5 і 10?

а ) 970 і 960;      б) 345 і 230;      в ) 538 і 435;     г ) 811 і 135.

 

8

9

Заняття №3-4

Тема заняття. Найбільший спільний дільник двох чисел. Алгоритм Евкліда.

Мета:

  • формування предметних компетентностей: сформувати знання про найбільший спільний дільник двох чисел, алгоритм Евкліда; сформувати вміння розв’язувати вправи та задачі на застосування властивостей НСД, алгоритму Евкліда;
  • формування ключових компетентностей: формувати вміння діяти за алгоритмом та складати алгоритми; сприяти усвідомленню власних освітніх потреб та цінності нових знань і вмінь.
10

Багато хто вважає математику нудною і важкою наукою: складні задачки, рівняння, формули… Голова обертом. Проте світ чисел і прикладів набагато цікавіший, ніж здається на перший погляд. Хочеш відчути себе фокусником і викликати захоплення та

 

Фокус 1. Задумайте число, додайте до нього 3, помножте отриману суму на 6, відніміть від добутку задумане число, потім відніміть ще 8 і, нарешті, поділіть результат на 5. Тепер скажіть результат, а я скажу, яке число ви задумали.

Секрет фокусу: потрібно від отриманого результату відняти 2.

Фокус 2. Помножте свою улюблену цифру на 9 і на знайдений добуток помножте восьмицифрове число 12345679.

У результаті буде число, записане тільки вашою улюбленою цифрою.

11

Епіграф заняття. «Знання збільшуються, а вміння вдосконалюються, коли ними ділишся.»                                                                       Народна мудрість

12

Нехай а1, а2, …, ап – довільні натуральні числа. Натуральне число, на яке ділиться кожне із заданих чисел, називається їх спільним дільником, а найбільший із спільних дільників – їх найбільшим спільним дільником і позначається НСД 1, а2, …, ап ). Множина спільних дільників декількох натуральних чисел є непорожньою і скінченною. Це випливає з того, що число

1 є спільним дільником довільних натуральних чисел, а дільник числа не перевищує саме число. Тоді за принципом найбільшого числа у множині спільних дільників заданих чисел існує найбільше число, яке і буде найбільшим спільним дільником заданих чисел. Отже, для довільних натуральних чисел а1, а2, …, ап їх найбільший спільний дільник завжди існує і причому єдиний.

Найбільший спільний дільник має такі властивості:

  1. Для довільних натуральних чисел а1, а2, а3, …, ап існує єдине НСД.
  2. Найбільший спільний дільник чисел a і b не перевищує меншого за більше з даних чисел (якщо a > b, то HCД (a, b) ≤ а).
  3. НСД даних чисел ділиться на будь-який спільний дільник.
  4. Якщо a ділиться на b, то HCД (a, b) =

Алгоритм Евкліда.

Знаходження НСД і НСК двох чисел не завжди дають можливість їх обчислювати, оскільки є дуже трудомісткими. Для розв’язання цієї задачі є метод, який називається послідовним діленням, або алгоритмом Евкліда, описаний Евклідом у VII книзі «Начала». Теоретичною основою його є теорема про ділення з остачею.

Якщо довільні натуральні числа a, b, g і r, пов’язані співвідношенням

a = b · g + r, то множина спільних дільників чисел а і b дорівнює множині спільних дільників чисел b і r, тобто НСД (a, b) = НСД (g, r).

Алгоритм  Евкліда  полягає  у  тому,  щоб  знайти  НСД  (a,  b),  де  а  > b:

більше з даних чисел, тобто а ділимо на менше – b. Якщо залишиться остача, то

 

менше число ділимо на остачу, потім першу остачу ділимо на другу і т. д., доки не одержимо остачу 0. Остання, відмінна від нуля, остача буде найбільшим спільним дільником чисел а і b. Процес ділення в алгоритмі Евкліда скінченний, бо остачі, які є цілими невід’ємними числами, на кожному кроці зменшуються, залишаючись меншими від b, а таких чисел не більше як b.

Між найменшим спільним кратним і найбільшим спільним дільником двох натуральних чисел існує зв’язок, який виражається такою теоремою.

Теорема. Для довільних натуральних чисел а і b їх найменше спільне кратне дорівнює добутку даних чисел, поділеному на їх найбільший спільний дільник: HCК (a, b) = b·а / НСД (b, a).

13

Вправа 1. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти з 320 горіхів, 340 цукерок, 200 пряників? Скільки цукерок, горіхів і пряників буде в кожному подарунку?

Вправа 2. Знайти розкладом на прості множники НСД і НСК чисел 6160 і 1560. Розв’язання. Розкладемо на прості множники      дані числа:

6160 = 24 · 5 · 7 · 11. 1560 = 2³ · 3 · 5 · 13. Отже, НСД (6160, 1560) = 2³ ·5 = 40.

Відповідь: НСД (6160, 1560) = 40.

Вправа 3. Знайти розкладом на прості множники НСД чисел 27720, 207900 і 12600.

Розв’язання. Розкладемо на прості множники дані числа:

27720 = 2³ · 3² · 5 · 7 · 11; 207900 = 2² · 3³ · 5² · 7 · 11; 12600 = 2³ · 3² · 5² · 7.

Отже НСД (27720, 207900, 12600) = 2² · 3² · 5 · 7 =1260.

Відповідь: НСД (27720, 207900, 12600) = 1260.

Вправа 4. Знайти НСД чисел 2970 і 1980 за алгоритмом Евкліда. Розв’язання. Знайдемо НСД (2970, 1980). Поділимо більше число на менше.

2970:1980= 1 (ост.990), поділимо менше число на остачу 1980:990=2 (ост. 0).

Отже НСД (2970, 1980) = 990.

Відповідь: НСД (2970, 1980) = 990.

Вправа 5. Знайти за алгоритмом Евкліда НСД і НСК чисел 2911 і 1763. Розв’язання. Знайдемо НСД (2911, 1763). Для цього більше з даних  чисел, тобто 2911 ділимо на менше – 1763. Менше число ділимо на остачу… Отже, НСД (2911, 1763) = 41. На основі формули, яка виражає залежність між НСД, НСК і добутком двох чисел HCК (a, b) = b·а / НСД (b, a).

НСК (2911, 1763) = 1211· 1763 / 41 = 125173.

Відповідь: НСД (2911, 1763) = 41, НСК (2911, 1763) = 125173.

14

15

                                  Алгоритм Евкліда

 

Це спосіб знаходження НСД натуральних чисел. Щоб знайти НСД двох чисел, використовуючи алгоритм Евкліда, необхідно:

 

1). Поділити більше з них на менше, дістанемо неповну

 

частку і остачу;

 

2). Ділимо менше з даних чисел на здобуту (першу

 

остачу) і дістанемо другу неповну частку і остачу;

 

3). Ділимо першу остачу на другу і т. д., при цьому

 

остача зменшується;

 

4). Ділимо до тих пір, поки остача не стане рівною 0.

16

17

Заняття № 5-6

Тема заняття. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел.

Мета:

  • формування предметних компетентностей: ознайомити учнів із поняттям множини, методом решета Ератосфена; сформувати вміння розв’язувати вправи та задачі, що передбачають застосування понять простих чисел, виконувати класифікацію чисел;
  • формування ключових компетентностей: формувати вміння чітко, лаконічно та зрозуміло формулювати думку, аргументувати, доводити правильність тверджень; сприяти усвідомленню цінності нових знань та вмінь, самовихованню уважності, працелюбності, витривалості.
18

Задачі-загадки.

  1. Один учень писав про себе: «…Пальців у мене двадцять п’ять на одній руці, стільки ж на другій, на ногах десять…» Чому він такий потворний? (Учень після слова «двадцять» не поставив дві крапки.)
  2. Який знак треба поставити між записаними цифрами 2 і 3, щоб мати число більше за 2, але менше за 3? (Кому.)
  3. Якщо о 12 годині дня іде дощ, то чи можна ждати через 36 годин сонячної погоди?
19

Епіграф заняття. «Те що ми знаємо – обмежене, а те чого не знаємо нескінченне.»                      П’єр-Симон Лаплас

20

На попередніх заняттях ми вже отримали певні знання про подільність чисел, але ці знання неповні. Сьогодні ми поповнимо свої знання новими методами та фактами. Так як у шкільних підручниках з цієї теми немає достатніх відомостей, то ми на занятті отримаємо додаткові знання з теми.

 

Для довільного цілого невід’ємного числа а і натурального числа b, якщо

а ділиться на b, то число b називається дільником числа а.

Натуральне число, яке більше за одиницю називається простим, якщо воно має своїми дільниками тільки одиницю і саме себе. Натуральне число, яке більше за одиницю називається складеним, якщо воно має не менше трьох дільників.

Отже, числа 2, 3, 5, 7 – прості числа першого десятка, 11, 13, 17, 19 –

прості числа другого десятка а числа 4, 6, 8, 9, 10, 12 складені.

Натуральні числа а1, а2, …, ап називаються взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює одиниці. Якщо кожна пара цих чисел взаємно проста, то числа а1, а2, …, ап називають попарно взаємно простими.

Теорема Евкліда. Множина простих чисел нескінченна.

Доведення. Доведемо теорему методом від супротивного. Припустимо, що множина простих чисел скінченна, тобто, що вона складається із простих чисел p1, p2, …, pn. Розглянемо число g = p1·p2· … ·pn + 1. Число g натуральне і більше одиниці, а тому воно має принаймні один простий дільник.

Таким простим числом не може бути жодне з простих чисел p1, p2, …, pn, бо число g при діленні на кожне з них дає в остачі 1.

Отже, існує просте число, відмінне від чисел p1, p2, …, pn. Наше припущення про скінченність множини простих чисел хибне.

Прості числа мають такі властивості:

  • Якщо просте число ділиться на натуральне число більше одиниці, то ці числа рівні.
  • Добуток кількох натуральних множників ділиться на просте число тоді і тільки тоді, коли хоча б один з них ділиться на просте число.
  • Кожне натуральне число, яке більше за одиницю, має хоча б один простий дільник.
  • Найменший, відмінний від одиниці, дільник натурального числа є числом простим.
  • Множина простих чисел нескінченна. (Теорема Евкліда).

 

  • Якщо натуральне число а, більше одиниці, не ділиться на жодне з простих чисел, квадрати яких не перевищують а, то число а просте.
  • Найменший простий дільник натурального числа не перевищує кореня квадратного з даного числа.

Для вивчення розподілу простих чисел у натуральному ряді та інших задач теорії чисел потрібно знати всі прості числа, які не перевищують заданого натурального числа. Для розв’язання цієї задачі є спеціальний метод, який називається решетом Ератосфена.

21

  Решето Ератосфена

 

Прості числа у натуральному ряді розподілені нерівномірно. Можна вказати досить великі проміжки натурального ряду, в яких немає жодного

простого числа. Наприклад, серед чисел виду

 

n! + 2, n! + 3, n! + 4, …, n! + n

 

при достатньо великому n немає жодного простого числа. Нагадаємо, що n! = 1×2×3×…×n. Разом із тим існують послідовні непарні числа, що є простими. Такими, зокрема, є числа 3 і 5, 5 і 7, 11 і 13, 17 і 19, … , 1000061087 і 1000061089, … .

 

Для вивчення розподілу простих чисел у натуральному ряді та інших задач теорії чисел потрібно знати всі прості числа, які не перевищують заданого натурального числа. Для розв’язання цієї задачі є спеціальний метод, який називається решетом Ератосфена. Суть його полягає у наступному.

 

  1. Виписують всі натуральні числа від 2 до n.

 

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …, n.                                (1)

 

  1. Число 2 ділиться тільки на 1 і саме на себе, отже, воно є простим. Викреслюють у ряді (1) усі числа кратні двом, крім самого числа 2.
22
Подільність чисел by Yana Tsis - Illustrated by Яна - Ourboox.com
  1. Перше, наступне за 2 не викреслене число, буде 3. Воно не ділиться на 2 (інакше його б викреслили). Отже, 3 ділиться тільки на 1 і самого себе, а тому також буде простим. Викреслюють усі числа кратні 3, крім самого числа 3.
24
Подільність чисел by Yana Tsis - Illustrated by Яна - Ourboox.com
  1. Перше, наступне за 3 не викреслене число, буде 5. Воно не ділиться ні на 2, ні на 3. Отже, 5 ділиться тільки на 1 і саме на себе, тому воно також буде простим. Викреслюють усі числа кратні 5, крім самого числа 5
26
Подільність чисел by Yana Tsis - Illustrated by Яна - Ourboox.com

Процес буде закінчено, коли одержиться просте число p таке, що p2 £ n, але для першого, наступного за p невикресленого простого числа p1, p12 > n. Усі не викреслені числа від 2 до n будуть простими.

28
Подільність чисел by Yana Tsis - Illustrated by Яна - Ourboox.com

Наприклад, щоб скласти таблицю простих чисел, які не перевищують 1000, викреслювання потрібно закінчити при p = 31, тому що 312 = 961 < 1000. Для наступного числа за 31, тобто для числа 32, маємо 322 = 1024 > 1000, а тому йпоготів для наступного простого за 31 числа будемо мати таку ж нерівність.

 

Зауваження. 1. Щоб викреслити всі складені числа кратні простому числу p, не потрібно знати ознаки подільності на p, для цього досить у ряді

 

  • викреслити кожне p-те число після числа p, враховуючи й ті, які вже раніше були викреслені.

 

  1. Викреслювання чисел кратних простому числу p слід починати з p2, тому що всі складені числа між p і p2 уже викреслені як кратні простим числам, меншим від p .

 

30
This free e-book was created with
Ourboox.com

Create your own amazing e-book!
It's simple and free.

Start now

Ad Remove Ads [X]
Skip to content