Квадратні рівняння by Myroslava Yakubiak - Illustrated by Математика - Ourboox.com
This free e-book was created with
Ourboox.com

Create your own amazing e-book!
It's simple and free.

Start now

Квадратні рівняння

by

Artwork: Математика

  • Joined Nov 2021
  • Published Books 1
Квадратні рівняння by Myroslava Yakubiak - Illustrated by Математика - Ourboox.com

Зміст

1. Квадратні рівняння

2. Формула коренів квадратного рівняння

3. Теорема Вієта

4. Квадратний тричлен

5. Розв’язування рівнянь

6. Раціональні рівняння

2

Історія

Розв’язування рівнянь другого степеня, зокрема й квадратних, у стародавні часи було викликане потребою вирішувати проблеми пов’язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли розв’язувати вавилоняни близько 2000 років до н. е. Відомо, що їхні методи розв’язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до того часу клинописних текстах збереглися лише вказівки щодо знаходження коренів рівнянь, але не зазначено, як вони були виведені. Однак, незважаючи на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає згадки про від’ємні числа і про загальні методи розв’язування рівнянь. У стародавній Греції квадратні рівняння розв’язувалися за допомогою геометричних побудов. Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду сучасного нам звичного вигляду уперше дав індійський вчений Брахмагупта. Аль-Хорезмі описав алгоритм знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв’язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

3

Квадратним або рівнянням другого степеня з однією змінною називають рівняння виду ax2+bx+c=0, де x – змінна, а a,b,c – коефіцієнти квадратного рівняння, причому a≠0 .
Якщо коефіцієнт b або c дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним (неповне квадратне рівняння – pure quadratic). Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax2=0;
2) ax2=bx=0;
3) ax2+c=0.

Рівняння ax2=0 має один корінь x=0.
Рівняння виду ax2=bx=0 рівносильне рівнянню x(ax+b)=0 і завжди має два корені: x=0 i x=-b/a.
Квадратне рівняння виду ax2+c=0 рівносильне рівнянню x2=-c/a.

Якщо -c/a>0, воно має два розв’язки , якщо -c/a<0 – рівняння не має жодного розв’язку.

Приклад 1
Знайти корені рівняння 2x2-18=0.
Розв’язання
2x2-18=0;
2x2=18;
x2=9;

x12

x1=3, x2=-3;
Відповідь: x1=3, x2=-3.

Дискримінантом (дискримінант – discriminant) рівняння ax2+bx+c=0 називають вираз D=b2-4ac.
Якщо D>0 рівняння ax2+bx+c=0 має два розв’язки, які знаходяться за формулами

Якщо D=0 рівняння ax2+bx+c=0 має один розв’язок, який знаходиться за формулою

Якщо D<0 рівняння ax2+bx+c=0 не має жодного розв’язку.

Приклад 2
Знайти корені рівняння x2+4x-21=0.
Розв’язання
D=42-4·1·(-21)=16+84=100>0.

x1=3, x2=-7.
Відповідь: x1=3, x2=-7.

Квадратне рівняння називають зведеним (зведене квадратне рів-няння – reduced quadratic), якщо коефіцієнт a дорівнює одиниці: x2+px+q=0.

Якщо зведене квадратне рівняння x2+px+q=0 має два корені, то їх сума дорівнює коефіцієнту p рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток – вільному члену q:
x1+x2=-p;
x1x2=q,
де x1,x2 – розв’язки рівняння x2+px+q=0.

4
Розв

Дякую за увагу!

6
This free e-book was created with
Ourboox.com

Create your own amazing e-book!
It's simple and free.

Start now

Ad Remove Ads [X]