Логарифми

Розглянемо рівняння , де а і N – деякі числа, причому  і . Якщо , то це рівняння не має коренів, бо значення показникової функції додатні при будь-якому х.

            Для  рівняння має корінь, і до того ж єдиний. Справді, областю значень показникової функції при є множина додатних чисел. Крім того, кожне своє значення показникова функція набуває лише при одному значенні аргументу( отже, цей корінь єдиний).

Означення: Логарифмом числа за основою (

називається показник степеня х, до якого треба піднести , щоб дістати число .

Наприклад:

1)

2)

3)

Слово «логарифм» у математичних записах замінюють символом . Запис  означає, що . Запис  читають так: логарифм числа 16 зо основою 2.

Вирази  та  не мають смислу, бо рівняння  і  не мають розв’язків.

Вираз , де  і , має смисл лише при

Логарифмічна рівність  і показниковa рівність  виражають одне й те саме співвідношення між числами .

За цими рівностями можна знайти одне з трьох чисел, що входять до них, якщо задано два інші.

Відповідно до цього можна розв’язати три задачі:

1) Знайти число N за даним його логарифмом b і його оновою а.

2) Знайти основу а за даним числом N і його логарифмом b.

3) Знайти логарифм b даного числа N за даною основою а.

У математиці широко використовують десяткові логарифми, це логарифми за основою 10. Для запису таких логарифмів застосовують символ ,замість  пишуть .

Наприклад:  1) ;

2)

3)

Натуральні логарифми. В математичних дослідженнях використовують логарифми за основою, вираженою ірраціональним числом, наближене значення якого дорівнює 2,718281828459045…або ≈ 2,718. Леонард Ейлер запропонував позначити це число літерою е. Його називають неперовим числом на честь шотландського математика Джона Непера(1550-1617).

Логарифми з основою е називають натуральними, або неперовими, і позначають .Тут основу е не пишуть, а лише мають на увазі. Отже,

Наприклад: 1)

2)

3)

Натуральний логарифм приблизно в 2,3 рази більший за десятковий логарифм того самого числа.

Основна логарифмічна тотожність. Розглянемо показникову рівність

(1)

За означенням логарифма,

(2)

Підставимо цей вираз у показникову рівність (1). Дістанемо:

Ця рівність називається основна логарифмічна тотожність. Вона є коротким записом означення логарифма.

Наприклад: 1)

2)

3)

Приклад 1. Записати у вигляді логарифмічних рівностей:

а)             б)       в)

Розв’язання. Застосовуючи означення логарифма даного числа за даною основою, маємо:

а)          б)        в)

Приклад 2. За означенням логарифма, визначити, яке число має логарифм 3 за основою 7.

Розв’язання. За умовою  звідси

Приклад 3. Знайти основу х, якщо

Розв’язання. Маємо:

Приклад 4. Знайти логарифм числа  за основою

Розв’язання. Маємо:

Операцію знаходження логарифмів чисел називають логарифмуванням. Операція логарифмування обернена операції піднесення до степеня при фіксованій основі.

Широкі застосування логарифмів ґрунтуються на їхніх властивостях.

Основні властивості логарифмів

Властивості виражаються в ряді теорем, на яких ґрунтується практичне застосування логарифмів.

Теорема 1. Логарифм добутку двох додатних чисел дорівнює сумі  логарифмів цих чисел, тобто

де

Доведення. Візьмемо два додатні числа х і у у вигляді степеня з основою а (. За основною логарифмічною тотожністю, маємо: і .

Знайдемо добуток цих чисел за правилом множення степенів з однаковими основами й запишемо результат за означенням логарифма:

Маємо:

Аналогічно можна довести й інші властивості логарифмів для чисел  .

Теорема 2. Логарифм частки двох додатних чисел дорівнює різниці  логарифмів цих чисел, тобто

Теорема 3. Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня, тобто

Теорема 4. Логарифм кореня з додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеному на показник кореня, тобто

Теорема 5. Якщо логарифми двох додатних чисел за тією самою основою рівні, то й самі числа рівні. І навпаки, якщо два додатні числа рівні, то і їх логарифми за тією самою основою рівні, тобто

До основних властивостей логарифмів належать ще й такі.

Основні властивості логарифмів широко використовуються під час перетворення виразів, що містять логарифми. Окремим видом таких перетворень є логарифмування виразів.

Прологарифмувати одночлен означає виразити його логарифм через логарифми додатних чисел (позначених цифрами і літерами), що входять до його складу.

            Користуючись теоремами про логарифм добутку, приватки, ступінь і коріння, можна прологарифмувати будь-який одночлен. Під час логарифмування на основі будемо вважати число 10.

Приклад 5. Прологарифмувати візі:

 а) б)

Роз’єднання. а) зараз вираз є добутком, тому тому, за теоремою 1:

б) за теоремами 1 і 3:

Потенціювання. Перетворення, за допомогою якого для даного логарифмичного числа (візу) визначають одне і те ж число (віраз), що називає потенціюванням. Це перетворення є оберненим до логарифмування.

Приклад 6. Пропотенціюваті вирази, найти тобто х за йий логарифм.

Роз’єднання. Скористаємося теоремами 3 і 2:

Формула переходу від однієї основи логарифмів до іншої

Приклад: 1)

                        2)  

                        3)

Деякі важливі тотожності, що містять логарифми

1)

2)

3)